【NOJ1048】【DP_动态规划】计算矩阵连乘积

1048.计算矩阵连乘积

时限：1000ms 内存限制：10000K 总时限：3000ms

描述

在科学计算中经常要计算矩阵的乘积。矩阵A和B可乘的条件是矩阵A的列数等于矩阵B的行数。若A是一个p×q的矩阵，B是一个q×r的矩阵，则其乘积C=AB是一个p×r的矩阵。计算C=AB总共需要p×q×r次乘法。
现在的问题是，给定n个矩阵{A1,A2,…,An}。其中Ai与Ai+1是可乘的，i=1,2,…,n-1。
要求计算出这n个矩阵的连乘积A1A2…An最少需要多少次乘法。

输入

输入数据的第一行是一个整树n（0 < n <= 10），表示矩阵的个数。
接下来的n行每行两个整数p,q( 0 < p,q < 100)，分别表示一个矩阵的行数和列数。

输出

输出一个整数：计算连乘积最少需要乘法的次数。

#include <iostream>

using namespace std;

int colomn[10],line[10];

int n;

int memo[10][10];

int dp();

int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=0; i<n; i++)
    {
        cin>>colomn[i]>>line[i];
    }

    cout<<dp()<<endl;
    return 0;
}

int dp()
{
    //初始化
    for(int i=0; i<n; i++)
    {
        for(int j=0; j<n; j++)
        {
            if(i==j)
            {
                memo[i][j]=0;
            }
            else
            {
                memo[i][j]=INT_MAX;
            }
        }
    }

    //备忘录法~
    for(int len=1; len<n; len++)
    {
        for(int i=0, j=i+len; j<n; i++, j++)
        {
            for(int k=i; k<j; k++)
            {
                memo[i][j]=min(memo[i][j],
                               memo[i][k]+memo[k+1][j]+colomn[i]*line[k]*line[j]);
            }
        }
    }

    //返回结果
    return memo[0][n-1];
}

【后记】

1.又是一道经典题目呢，第一次使用备忘录方法

2.数据结构及递推公式如下所示，memo[ i ][ j ]就是矩阵 i 到矩阵 j 的连乘积，因此memo[0][n-1]为答案。

最优子结构性质：想要求出memo[ i ][ j ]，需要先遍历每个断开位置k，求出memo[ i ][ k ]和memo[k+1][ j ]，一直递推下去，直到len=1时可直接求出memo[ i ][ i+1 ]。（自顶向下的思路，自底向上的求法）

算法过程其实就是遍历 i 到 j 的长度len，和 i 和 j 之间的断开位置k：

3.备忘录方法及填表过程：

之所以说是自底向上的求法，是因为我们从len=2开始遍历，直到求出答案。

【NOJ1048】【DP_动态规划】计算矩阵连乘积

1048.计算矩阵连乘积

猜你喜欢