第五讲 一阶自治ODE

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一，一阶自治ODE的形式：，这种方程用分离变量就可以解，但有时求解非常繁琐；

二，怎么在不解方程的前提下，知道解的性质？可以用几何法做””图：

三、求的解的性质（方程右边是一次方程）：

1. 当时，点为临界点；
2. 根据上式，做“”图和“”图：   
3. 当时，递增，箭头朝正方向；当时，递减，箭头朝负方向；
4. 在””图上画出解曲线：                                       
5. 这个公式的现实意义：当y表示存款，r表示利率，w表示取出率时，w会影响临界点，当存款低于临界点时，会逐渐变为0。

四，求逻辑斯蒂方程的解的性质（方程右边是二次方程）：

1. 当时，点为临界点；
2. 根据上式，做和“”图和“”图：
3. 当时，递增，箭头朝正方向；当或时，递减，箭头朝负方向；
4. 在””图上画出解曲线：                                               
5. 稳定解（稳定临界点）：随着时间增长，所有的解都趋近它；
6. 非稳定解（非稳定临界点）：随着时间增长，所有的解都远离它；
7. 半稳定解（半稳定临界点）：随着时间增长，一边的解趋近它，另一边的解远离它，见视频34:00~36:00；

五，求方程的解的性质：

1. 方程右边的目的：将逻辑斯蒂函数向下偏移h，使二次函数的顶点和y轴重合；现实意义是，当收割率为h的时候，产量y不会下降为0，如图。                                                   
2. 作图可知临界点和收割率h，千万别令方程右侧等于0，然后倒弄二次函数来求，这样非常繁琐。