【HDU 6411】带劲的and和【并查集 + 二进制拆位】

度度熊专门研究过“动态传递闭包问题”，他有一万种让大家爆蛋的方法；但此刻，他只想出一道简简单单的题——至繁，归于至简
度度熊有一张n个点m条边的无向图，第i个点的点权为 $v_i$ 。
如果图上存在一条路径使得点i可以走到点j，则称i,j是带劲的，记f(i,j)=1；否则f(i,j)=0。显然有f(i,j)=f(j,i)。
度度熊想知道求出：
$\sum_{i=1}^{n-1} \sum_{j=i+1}^{n} f(i,j) \times \max(v_i, v_j) \times (v_i \& v_j)$
其中&是C++中的and位运算符，如1&3=1, 2&3=2。
请将答案对 $10^9+7$ 取模后输出。
第一行一个数，表示数据组数T。

每组数据第一行两个整数n,m；第二行n个数表示vi；接下来m行，每行两个数u,v，表示点u和点v之间有一条无向边。可能有重边或自环。

数据组数T=50，满足：

1≤n,m≤100000
1≤vi≤109。

其中90%的数据满足n,m≤1000。
每组数据输出一行，每行仅包含一个数，表示带劲的and和。
Input
1
5 5
3 9 4 8 9
2 1
1 3
2 1
1 2
5 2
OutPut
99
分析：这个很奇怪的公式，一看就知道要对其化简，不然太难解了，首先第一个 $f(i,j)$ 这个好解决，我们可以并查集维护在同一个联通快内的所有点，再看第二个 $max(v_i, v_j)$ ，这个的话，我们可以将每个联通快内的所有点排个序，贡献的传递关系就很明确了，最难的是第三个公式v_i & v_j ,真想不到怎么处理不同数&之间没有任何关系，这个怎么优化？好吧，看了题解感觉太巧妙了。我么可以利用二进制拆位，拿一个例子来说：
a * b，假设b的二进制位11011,那么这个乘积也可以转化为a * (1 << 4) + a * (1 << 3) + a * 0 + a * (1 << 1) + a * ( 1 << 0)
把这个思路用到这个题目上，对于同一联通块内的所有点，我们排好序（由小到大）之后，每个值我们都进行拆位，看当前位会对后面比它大的数的贡献。
代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int MOD = (int) 1e9 + 7;
const int N = (int) 1e5 + 11;

int pre[N], val[N]; vector<int>ve[N];
int Find(int x){ return x == pre[x] ? x : (pre[x] = Find(pre[x])); }
int main(){
    #ifndef ONLINE_JUDGE
        freopen("in.txt", "r", stdin);
        freopen("out.txt", "w", stdout);
    #endif
    int T; scanf("%d", &T);
    while(T--){
        int n, m; scanf("%d%d", &n, &m);
        for(int i = 1; i <= n; i++){
            ve[i].clear(); pre[i] = i;
        }
        for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &val[i]);
        while(m--){
            static int a, b;   scanf("%d%d", &a, &b);
            a = Find(a); b = Find(b);
            pre[a] = b;
        }
        for(int i = 1; i <= n; i++) ve[Find(i)].push_back(val[i]);
        for(int i = 1; i <= n; i++) sort(ve[i].begin(), ve[i].end());
        ll dp[33]; ll ans = 0;  
        for(int i = 1; i <= n; i++){
            if(ve[i].size() <= 1) continue; 
            memset(dp, 0, sizeof(dp));
            for(int k = 0; k < (int)ve[i].size(); k++){
                int v = ve[i][k];
                for(int j = 0; j < 30; j++){
                    if(v & (1 << j)) {
                        ans += dp[j] * 1ll * v % MOD * (1 << j) % MOD; ans %= MOD;     
                        dp[j]++; if(dp[j] >= MOD) dp[j] -= MOD;    
                    }
                }
            }
        }
        printf("%lld\n", ans);
    }
    return 0;
}

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