这个标题拿出来估计不会引起太多的重视，我确实也不知道用什么词汇来表达能达到更好的效果，那直接把上一篇最后的两个图给出来吧！
大家可以看一下这些铺贴，如果给足条件了，比如两个轴的角度，你们可以推导出它的铺贴算式么？
如果可以的话，那跳过这篇也是无可厚非，但是先说明一下，接下来要压轴登场的史诗级玩法将建立在本篇的基础上，所以先了解下也没啥坏处。至少先看下给出的条件长啥样子。
这种坐标变换，很多地方（包括我现在涉猎的瓷砖领域）都不会用角度表示旋转。原因很简单，角度需要做三角函数计算，用起来耗性能也不方便，因此他们提出一个叫“基向量”的东西。
正式开始前，我要感谢三维家一位牛逼的同事，他虽然不搞算法，但却通过自己看书把基向量这套体系给研究出来了。至于我，遇到这种问题的话，多半会思维定势，想着如何通过拼接旋转和缩放矩阵让两个轴刚好达到给定的方向。这当中必然涉及很多三角函数的变换，运算过程会变得非常繁琐，也非常蛋疼。因此在这位同事面前，我是真的自愧不如啊。
现在我们来了解下这套基向量的体系。
所谓基向量，就是指斜坐标轴1个单位长度（1格）在直角坐标系下所对应的向量值。哎呀，文字表达能力欠缺，还是上图吧。
这张图中，红线代表斜坐标系在x方向上的基向量(0.87,0.50)，绿线则代表斜坐标系在y方向上的基向量(-0.32,0.95)。
也就是说，在两个坐标系中，斜坐标系中的(1,0)等于等于直角坐标系中的(0.87,0.50)，斜坐标系中的(0,1)等于直角坐标系中的(-0.32,0.95)。
有了这两个关系，我们就可以尝试在斜坐标系上取任意一点，求出它在直角坐标系下的值。
先拿个简单的吧，比如斜坐标系下的(1,1)
我们看到，基向量的两个端点，跟坐标原点，以及黑点(1,1)刚好构成了一个平行四边形，然后向量又刚好满足平行四边形法则，这样的话，从坐标原点到黑点（1,1）的向量就更好等于两个基向量的和。即斜坐标下的(1,1)等于直角坐标下的(0.87,0.50)+(-0.32,0.95)=(0.55,1.45)，这个有看不懂的话可以自行百度向量的四则运算。
有了这个基础，我们就可以尝试取别的点了，比如(3,2)。
然后我们把基向量沿着斜坐标轴延长到黑点所在的位置，也就是红向量延长到原来的3倍，绿向量延长到原来的2倍，接着我们也把坐标原点到黑点的向量连起来。可以发现，4个点（坐标原点，两个基向量的端点和黑点）也是构成了一个平行四边形。
这样，很明显，斜坐标系下的(3,2)等于直角坐标系下的(0.87,0.50)*3+(-0.32,0.95)*2=(0.87*3-0.32*2, 0.50*3+0.95*2）
把(3,2)换成任意的其它点，这个规律仍然成立，因此我们有如下公式
(x,y)=(0.87*x'-0.32*y', 0.50*x'+0.95*y')
其中，x，y代表直角坐标系下的坐标值，而x'，y'则为斜坐标系下的坐标值。
然后我们也把基向量换掉。用ex表示x方向的基向量，ey表示y方向的基向量，则有
(x,y)=(ex.x*x'+ex.y*y', ey.x*x'+ey.y*y')
哎呀，CSDN改版了，不知道怎么用下标，那我还是用MathType弄个数学公式吧。
三维家有个同事给我的文章提了个建议，说重点部分应该加个高亮颜色，这次很不幸运地，重点在一个用图片来显示的公式上，那我就直接给图片上的字改了个颜色再截图。这样问题不大吧？
把这里的等量关系拆分下，就有
ex.x*x'+ex.y*y'=x
ey.x*x'+ey.y*y'=y
其中，ex.x，ex.y，ey.x，ey.y均为常量，所以虽然看着有点眼疼，但是如果我们分别用A,B,C,D表示这4个变量的话：
A=ex.x
B=ex.y
C=ey.x
D=ex.y
那看起来就舒服多了：
Ax'+By'=x
Cx'+Dy'=y
这个坐标转换的关系式还是比较简单的。然后下一个问题就是如果是要从x，y反推回x'，y'，那要怎么做呢？最直接的方法是解二元一次方程组，但我们求逆矩阵的时候已经做了一次这样的事情，那我们也试着用矩阵来计算吧！
现在我们把前面提到的——矩阵跟点相乘的公式拿过来。
由于操作的点是x'，y'而非x，y，所以我们先改改字母，这样看着不至于混淆。
然后我们把上面等式的左侧跟矩阵乘法的结果相对应，就得到如下结果
于是有a=A=ex.x，b=C=ey.x，c=B=ex.y，d=D=ey.y，tx=0，ty=0，于是我们得到最终的基向量变换矩阵为：
写长了，但是篇幅基本上都是被截图挤长的，内容不算多，再给代码么？还是放到下一篇好了，代码也是个很挤篇幅的玩意儿，留到下一篇会更合适，嘿嘿！那这篇就先到这里喽~~未完待续。