霍夫圆变换
基本原理
关于基本原理，其思想大概跟霍夫线变换相似，但是有两种说法。
第一种：
在霍夫线变换中，笛卡尔X-Y直角坐标系中的直线，变换到霍夫空间中则为1个点
因此类比可得，笛卡尔X-Y直角坐标系中的圆，变换到abr空间中，则为一条曲线，具体如下：
X-Y直角坐标系下圆方程：
对应的参数方程为：
所以在abr组成的三维坐标系中，一个点可以唯一确定一个圆。
那么，当我们固定（x,y），选取（a,b,r） 的不同组合，可以得到xy直角坐标系中经过某点(X,Y)的所有圆对应，
而在笛卡尔的xy坐标系中经过某一点的所有圆映射到abr坐标系中就是一条三维的曲线。【这句话应该是不严谨的，正确的说法看后面的第二种叙述】
个人认为，上面的话，应该是对于某点（x,y），
固定X时，选取不同(a,r)组合，可以得到一条(a,r)坐标系下的曲线
固定Y时，选取不同(b,r)组合，可以得到一条(b,r)坐标系下的曲线
这里，我们先继续认为上面的叙述没有问题，即经过点(X,Y)的所有圆变换到（a,b,r）空间下是一条空间曲线。那么这条曲线上的一点，则对应一个圆。
这时候，看（a,b,r）坐标系，若该坐标系中有某点(a,b,r）固定，那么经过该点的空间曲线越多，说明对应笛卡尔X-Y直角坐标系中共圆的点越多。当设定一个阈值，则可判断X-Y坐标系中是否有圆了。
第二种：
X-Y直角坐标系下圆方程：
现假设（x,y）是参数，即（x,y）固定，假设为（1，1）
那么以（a,b,r）为变量的方程，对应的空间图形是一个这样一个曲面，貌似是圆锥？
matlab画图代码：
>> a=-8:0.5:8; >> b=a; >> [A,B]=meshgrid(a,b); >> R=sqrt((1-A).^2+(1-B).^2); >> mesh(A,B,R);
这就跟上面第一种说法的叙述有矛盾了，这里表明在笛卡尔的xy坐标系中经过某一点的所有圆映射到abr坐标系中是一个圆锥体。
那么，在这个曲面上的每一个点，则对应 X-Y坐标系下的一个经过点（x，y）的圆。
也就是说，在（a，b，r）坐标系中，假设有固定的某点(a0,b0,r0），若经过该点的曲面越多，则表示对应X-Y直角坐标系中有多个点共这个圆。
原理部分就先到这里，希望有大神指出纰漏。
霍夫梯度法
上述描述的是标准霍夫圆变换的原理，由于三维空间的计算量大大增大的原因, 标准霍夫圆变化很难被应用到实际中。
实际上，一般用霍夫梯度法来解决这个问题。
基本原理：依据是圆心一定是在圆上的每个点的模向量上(圆上该点切线的法向量), 这些圆上点模向量的交点就是圆心, 霍夫梯度法的
第一步就是找到这些圆心, （圆心包含了圆心处的x和y坐标）这样三维的累加平面就又转化为二维累加平面.
第二步根据所有候选中心的边缘非0像素对其的支持程度来确定半径。简单来说，就是从圆心到圆周上的任意一点的距离（即半径）是相同，只要确定一个阈值，只要相同距离的数量大于该阈值，我们就认为该距离就是该圆心所对应的圆半径，该方法只需要计算半径直方图，不使用霍夫空间。
下引用给出两个版本解释的霍夫梯度法操作具体过程：
引用参考：https://blog.csdn.net/qq_37059483/article/details/77916655
version 1:
2-1霍夫变换的具体步骤为：
1）首先对图像进行边缘检测，调用opencv自带的cvCanny()函数，将图像二值化，得到边缘图像。
2）对边缘图像上的每一个非零点【即边缘点】。采用cvSobel()函数，计算x方向导数和y方向的导数，从而得到梯度。从边缘点，沿着梯度和梯度的反方向，对参数指定的min_radius到max_radium的每一个像素，在累加器中被累加。同时记下边缘图像中每一个非0点的位置。
3）从（二维）累加器中这些点中选择候选中心。这些中心都大于给定的阈值和其相邻的四个邻域点的累加值。
4）对于这些候选中心按照累加值降序排序，以便于最支持的像素的中心首次出现。
5）对于每一个中心，考虑到所有的非0像素（非0，梯度不为0），这些像素按照与其中心的距离排序，从最大支持的中心的最小距离算起，选择非零像素最支持的一条半径。
6）如果一个中心受到边缘图像非0像素的充分支持，并且到前期被选择的中心有足够的距离。则将圆心和半径压入到序列中，得以保留。
version 2:
第一阶段：检测圆心
1.1、对输入图像边缘检测；
1.2、考虑其局部梯度，即用Sobel（）函数计算x和y方向的Sobel一阶导数得到梯度，即得到切线的法向量【指向圆心】
（这里容易把偏导、切线、梯度、法向量混淆，为此我还回去看了几天的高数下册，在下面给出一些归纳）
1.3、在二维霍夫空间内，绘出所有图形的梯度直线，某坐标点上累加和的值越大，说明在该点上直线相交的次数越多，也就是越有可能是圆心；(备注：这只是直观的想法，实际源码并没有划线)
1.4、在霍夫空间的4邻域内进行非最大值抑制；
1.5、设定一个阈值，霍夫空间内累加和大于该阈值的点就对应于圆心。
第二阶段：检测圆半径
2.1、计算某一个圆心到所有圆周线的距离，这些距离中就有该圆心所对应的圆的半径的值，这些半径值当然是相等的，并且这些圆半径的数量要远远大于其他距离值相等的数量
2.2、设定两个阈值，定义为最大半径和最小半径，保留距离在这两个半径之间的值，这意味着我们检测的圆不能太大，也不能太小
2.3、对保留下来的距离进行排序
2.4、找到距离相同的那些值，并计算相同值的数量
2.5、设定一个阈值，只有相同值的数量大于该阈值，才认为该值是该圆心对应的圆半径
2.6、对每一个圆心，完成上面的2.1～2.5步骤，得到所有的圆半径
番外：切向量&&法向量
先给出切向量的大概推导：
意思是：对于2维下参数方程，某点处的切向量为分量对参数求导（x'(t0)，y'(t0)）
由此，可以得到以下归纳：
在非参数方程的归纳中，将x看作是参数，将问题转化为参数方程下的切向量和法向量问题，
最终加上隐函数求导法则，可以推出2维下某点的梯度
即为该点处的法向量
参考文章：
https://blog.csdn.net/xia316104/article/details/44781157