【概率论】5-4:泊松分布(The Poisson Distribution)

title: 【概率论】5-4:泊松分布(The Poisson Distribution)
categories:
- Mathematic
- Probability
keywords:
- Poisson Distribution
- Poisson Processes
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date: 2018-03-28 15:40:55

Abstract: 本文介绍Poisson分布相关知识
Keywords: Poisson Distribution

开篇废话

前面这几个分布包括今天说的泊松分布都是和二项分布，伯努利分布相互联系的，之间有各种各样的关系，我们的学习目的不是背诵所有这些分布的性质，而是在这些性质的推到过程。

很多实验比较关注次数，比如一段时间内到达商店的顾客的人数，电话交换机每分钟受到的通话请求，洪水或者其他自然人为灾害发生的次数。泊松分布被用来建模，一段事件这些事情发生的次数，并且泊松分布也是用来近似当 $p$ 很小的时候的二项分布的一种方法。

Definition and Properties of the Poisson Distributions

先来看一个商店一段时间有多少顾客到来的例子，这个例子会贯穿正片博客，大家应该好好读一下。

商店老板相信，顾客们以每个小时4.5 人次的数量来到商店，他想找到一个X的分布，这个X表示在未来某个一个小时，到店的客人数，并且他认为这些到来的客人之间相互独立，于是他的做法是按照一个小时3600秒计算，平均每秒来 0.00125 个人，并且假设一秒钟不会同时出现两个人同时到店的可能，那么某时间点，到达的人数为0或者1，为1的可能性是0.00125，整个过程是一个二项分布，n=3600，p=0.00125。
这看起来很正确也很流畅
于是他要计算p.f.了：
$f(x|n=3600,p=0.00125)= \begin{cases} \begin{pmatrix} 3600\\x \end{pmatrix}p^x(1-p)^{3600-x}&\text{for }0\leq x\leq 3600\\ 0&\text{otherwise} \end{cases}$

这个式子非常有意思，当参数 $\begin{pmatrix} 360 0\\x \end{pmatrix}$ 变大的时候，参数 $p^x(1-p)^{3600-x}$ 似乎以同等的速度变小，而整体却变化不大，于是我们对相邻的两个随机变量值做个比较（以下把 $X$ 扩展到在0到 $n$ 之间变化）
$\begin{aligned} \frac{f(x+1)}{f(x)}&= \frac {\begin{pmatrix}n\\x+1\end{pmatrix}p^{x+1}(1-p)^{n-x-1}} {\begin{pmatrix}n\\x\end{pmatrix}p^{x+1}(1-p)^{n-x-1}}\\ &=\frac{(n-x)p}{(x+1)(1-p)}\\ &\approx\frac{np}{x+1} \end{aligned}$

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