UA MATH564 概率分布2 Poisson分布

Poisson分布 $X\sim Pois(\lambda)$的分布列为
$P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!},k=0,1,2,\cdots$
下面陈述关于Poisson分布的五个有趣的性质，前三个性质是矩与生成函数有关的；后两个性质分别陈述Poisson分布的可加性以及Poisson分布与二项分布的关系。

性质1 Poisson分布的期望和方差都是 $\lambda$
证明
$EX = \sum_{k=0}^{\infty} k\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} = \sum_{k=1}^{\infty} k\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} =\lambda \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\lambda^{k-1} e^{-\lambda}}{(k-1)!} =\lambda \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^{k} e^{-\lambda}}{k!} = \lambda \\ EX^2 = \sum_{k=0}^{\infty} k^2\frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} = \lambda \sum_{k=0}^{\infty} (k+1)\frac{\lambda^{k} e^{-\lambda}}{k!} = \lambda(\lambda+1) \\ VarX = EX^2 - (EX)^2 = \lambda$
证毕

性质2 $M_X(t) = \exp(\lambda(e^t - 1))$
证明
$M_X(t) = Ee^{tX} = \sum_{k=0}^{\infty} e^{tk} \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} = e^{-\lambda}\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(\lambda e^t)^k }{k!} = \exp(\lambda e^t)e^{-\lambda} = \exp(\lambda(e^t - 1))$
证毕

性质3 $EX^r = \sum_{j=1}^r S_2(r,j)\lambda^j$
证明
$EX^r = \sum_{k=0}^{\infty} k^r \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k e^{-\lambda} L^k0^r}{k!} = e^{-\lambda} e^{\lambda L}0^r = e^{\lambda \Delta} 0^r \\ = \sum_{j=0}^{\infty} \frac{\lambda^j}{j!} \Delta ^j 0^r = \sum_{j=1}^r S_2(r,j)\lambda^j$
证毕

性质4 $X_i \sim Pois(\lambda_i),i=1,2,\cdots,n$，且所有的 $X_i$互相独立，则 $\sum_{i=1}^n X_i \sim Pois(\sum_{i=1}^n \lambda_i)$
证明 因为所有的 $X_i$互相独立，
$M_{\sum_{i=1}^n X_i}(t) = Ee^{t\sum_{i=1}^n X_i} = \prod_{i=1}^n Ee^{tX_i} = \prod_{i=1}^n \exp(\lambda_i(e^t - 1)) = \exp((e^t - 1) \sum_{i=1}^n \lambda_i)$
因此 $\sum_{i=1}^n X_i \sim Pois(\sum_{i=1}^n \lambda_i)$
证毕

性质5 $X_1 \sim Pois(\lambda_1)$与 $X_2 \sim Pois(\lambda_2)$互相独立，则 $X_1|X_1+X_2 = x \sim Binom(x,\frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2})$
证明 根据性质4， $X_1+X_2 \sim Pois(\lambda_1 + \lambda_2)$
$P(X_1 = k|X_1+X_2 = x) = \frac{P(X_1 = k,X_1 + X_2 = x)}{P(X_1 + X_2 = x)} = \frac{P(X_1 = k)P(X_2 = x-k)}{P(X_1 + X_2 = x)} \\ = \frac{\frac{\lambda_1^k e^{-\lambda_1}}{k!} \frac{\lambda_2^{x-k_1}e^{-\lambda_2}}{(x-k_1)!}}{\frac{(\lambda_1 + \lambda_2)^x e^{-(\lambda_1 + \lambda_2)}}{x!}} = \frac{x!}{(x-k)!k!} \left( \frac{\lambda_1}{\lambda_1 + \lambda_2}\right)^k \left( 1- \frac{\lambda_1}{\lambda_1 + \lambda_2}\right)^{x-k} \\ = C_x^k \left( \frac{\lambda_1}{\lambda_1 + \lambda_2}\right)^k \left( 1- \frac{\lambda_1}{\lambda_1 + \lambda_2}\right)^{x-k}$
因此 $X_1|X_1+X_2 = x \sim Binom(x,\frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2})$
证毕

例（复合Poisson分布） 假设某只昆虫产卵数量为 $N\sim Pois(\lambda)$，每个卵被成功孵化的概率为 $p$，请问这只母体生产的子代昆虫数量 $X$服从什么分布？
解 显然 $X|N=n \sim Binom(n,p)$，
$P(X=k) = \sum_{n=0}^{\infty} P(X=k,N=n) = \sum_{n=0}^{\infty} P(X=k|N=n)P(N=n) \\ = \sum_{n=0}^{\infty} [C_n^k p^k (1-p)^{n-k}] \frac{\lambda^n e^{-\lambda}}{n!} = \sum_{n=k}^{\infty} [C_n^k p^k (1-p)^{n-k}] \frac{\lambda^n e^{-\lambda}}{n!}$
先化简一下被求和的式子
$[C_n^k p^k (1-p)^{n-k}] \frac{\lambda^n e^{-\lambda}}{n!} = \frac{n!}{(n-k)!k!}p^k (1-p)^{n-k} \frac{\lambda^n e^{-\lambda}}{n!} \\ = \frac{(\lambda p)^k}{k!}e^{-\lambda} \frac{[\lambda(1-p)]^{n-k}}{(n-k)!}$
这样求和的结果就很明显了
$\sum_{n=k}^{\infty} \frac{(\lambda p)^k}{k!}e^{-\lambda} \frac{[\lambda(1-p)]^{n-k}}{(n-k)!} =\frac{(\lambda p)^k}{k!}e^{-\lambda} \sum_{n=k}^{\infty} \frac{[\lambda(1-p)]^{n-k}}{(n-k)!} \\ = \frac{(\lambda p)^k}{k!}e^{-\lambda} e^{\lambda(1-p)} = \frac{(\lambda p)^k e^{-\lambda p}}{k!}$
因此 $X \sim Pois(\lambda p)$