【概率论】泊松分布 Poisson Distribution

分布描述

泊松分布描述的是一个离散随机事件在单位时间内发生的次数, 其对应的场景是我们统计已知单位事件内发生某事件的平均次数 $\lambda$, 那么我们在一个单位事件内发生 $k$次的概率是多大呢? 比如说医院产房里统计历史数据可知, 平均小时出生3个宝宝,那么在接下来的一个小时内, 出生 0 个宝宝, 1 个宝宝, …, 3 个宝宝, …10 个宝宝, n 个宝宝的概率分别是多少呢? 泊松分布给出了定量的结果 :

$$P(X = k) = \frac {\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}, k = 0,1,2...$$ ,
其中 $P(X = k)$ 描述的就是在单位时间内事件 $X$发生 $k$ 次的概率, $\lambda$ 代表在单位时间内事件发生的平均次数, 也就是泊松分布的 期望, 同时也是方差.

满足条件

一个场景可以用泊松分布来描述, 需要满足三个条件

1. 均值稳定. 即 $\lambda$ 在任意划定的单位时间长度内,应该是一个稳定的数值.
2. 事件独立. 事件之间相互独立, 若相关, 则泊松分布失效.
3. 在一个极小的时间内, 事件发生的次数应趋近于0. 比如说 产房平均 1 小时出生 3 个宝宝, 那我任意指定 1ms, 那这 1ms 内出生的宝宝数趋近于 0 .

应用场景

在现实生活中, 泊松分布的应用场景非常非常多.

• 医院预测单位时间内 接收的病人/出生的宝宝等, 从而安排工作时间.
• 寻呼台预测单位时间内接进来的人数, 从而安排客服.
• 机器故障的概率 / 自然灾害发生的次数 / 网络服务器的请求数
• 放射性物质衰变的原子个数 …等等

泊松分布和二项分布

当二项分布的 $p$ 很小, $n$很大的时候, 二项分布可以用泊松分布近似.

泊松分布和指数分布

泊松分布是单位时间内独立事件发生次数的概率分布，指数分布是独立事件的时间间隔的概率分布。

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Ref

• 泊松分布和指数分布：10分钟教程 : 阮一峰出品, 确实最容易看懂
• 泊松分布的现实意义是什么，为什么现实生活多数服从于泊松分布？ - 马同学的回答 - 知乎 : 极好的例子, 完善的数学推导
• 泊松分布–百度百科 : 盗图
• 如何理解泊松分布和泊松过程 : 如何判断一个过程为泊松过程