最详解泊松分布Poisson distribution

概念：

设随机变量X的分布律为

$P\begin{Bmatrix} X=k \end{Bmatrix}=\frac{\lambda ^{k}}{k!}e^{-\lambda },k=0,1,2,...$

其中 $\lambda \geqslant 0$ ，则称X服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布，记为 $X\sim B(\lambda )$ 或 $\pi (\lambda )$ .

显然

$P\begin{Bmatrix} X=k \end{Bmatrix}> 0,k=0,1,2,...$

$\sum^{\infty}_{k=0}P\begin{Bmatrix} X=k \end{Bmatrix}=\sum^{\infty}_{k=0}\frac{\lambda ^{k}}{k!}e^{-\lambda }=e^{-\lambda }\sum^{\infty}_{k=0}\frac{\lambda ^{k}}{k!}=e^{-\lambda }e^{\lambda }=1$

泊松定理：

设随机变量 $X_{n}$ (n=1,2,...)服从二项分布 $B(n,p_{n})$ ，其中概率 $p_{n}$ 与n有关，并且满足

$\underset{n\rightarrow \infty}{lim}np_{n}=\lambda >0$

则

$\underset{n\rightarrow \infty}{lim}C^{k}_{n}p_{n}^{k}(1-p_{n})^{n-k}=\frac{\lambda^{k} }{k!}e^{-\lambda },k=0,1,2,...$

证明：

令 $np_{n}=\lambda_{n}$ ，则

$p_{n}=\frac{\lambda_{n}}{n}$

$C^{k}_{n}p_{n}^{k}(1-p_{n})^{n-k}=\frac{n(n-1)...(n-k+1)}{k!}\begin{pmatrix} \frac{\lambda_{n}}{n} \end{pmatrix}^{k}\begin{pmatrix} 1-\frac{\lambda_{n}}{n} \end{pmatrix}^{n-k}=\frac{\lambda^{k}_{n}}{k!}\begin{bmatrix} 1\cdot (1-\frac{1}{n}) (1-\frac{2}{n}) (1-\frac{k-1}{n}) (1-\frac{\lambda_{n}}{n})^{n-k} \end{bmatrix}$

对于任意的非负整数k，有

$\underset{n\rightarrow \infty}{lim}(1-\frac{1}{n})(1-\frac{2}{n})...(1-\frac{k-1}{n})=1$

$\underset{n\rightarrow \infty}{lim}\lambda_{n}^{k}=\underset{n\rightarrow \infty}{lim}(np_{n})^{k}=\lambda^{k}$

$\underset{n\rightarrow \infty}{lim}(1-\frac{\lambda_{n}}{n})^{n-k}=\underset{n\rightarrow \infty}{lim}(1-\frac{\lambda_{n}}{n})^{-\frac{n}{\lambda_{n}}(-\lambda_{n})}(1-\frac{\lambda_{n}}{n})^{-k}=e^{-\lambda}\cdot1=e^{-\lambda}$

故得

$\underset{n\rightarrow \infty}{lim}C^{k}_{n}p_{n}^{k}(1-p_{n})^{n-k}=\frac{\lambda^{k} }{k!}e^{-\lambda },k=0,1,2,...$

在应用中，当 $X\sim B(n,p)$ 且n很大（ $n\geqslant 10$ ），p很小（ $p< 0.1$ ）时，有下面的泊松近似公式（其中 $\lambda=np$ ）

$P\begin{Bmatrix} X=k \end{Bmatrix}=C^{k}_{n}p_{n}^{k}(1-p_{n})^{n-k}\approx\frac{\lambda^{k} }{k!}e^{-\lambda },k=0,1,2,...,n$

$P\begin{Bmatrix} X\geqslant m \end{Bmatrix}\approx \sum_{k=m}^{\infty}\frac{\lambda^{k} }{k!}e^{-\lambda },m=0,1,2,...,n$

很多随机现象都近似服从泊松分布

电话交换站一定时间内的呼唤次数；

公共汽车站来到的乘客数；

炸弹爆炸后落在平面上某区域的碎片弹个数；

落在显微镜上的某种细菌的个数；

泊松分布的数学期望与方差

设 $X\sim B(\lambda)$ ，其分布律为

$P\begin{Bmatrix} X=k \end{Bmatrix}=\frac{\lambda ^{k}}{k!}e^{-\lambda },k=0,1,2,...$

$E(X)=\lambda,D(X)=\lambda$

证明暂略