NCSTOJ 1377 a^b，1378 64位整数乘法

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求a的b次方对p取模的值，其中 1 ≤ a,b,p ≤ $10^9$

快速幂的入门题，什么是快速幂呢？ 就是快速的幂运算。

我们知道例如 a<<1 这种位运算是比直接的乘法运算 $a\times2$要快的。
快速幂之所以快 就是因为使用了这样的二进制下位运算加速计算的方法。

比如计算 $a^{11}$时，
因为11的二进制为1011，即 ${2^3}\cdot1+ {2^2}\cdot0 + {2^1}\cdot1 + {2^0}\cdot1 =11$
所以我们把它拆成 $a^{11} = a^8 \cdot a^2 \cdot a^1$。每一个乘项都可以通过为运算很快地计算，整体也就很快。

至于模运算，参考公式就行。

模运算与基本四则运算有些相似，但是除法例外。其规则如下：
(a + b) % p = (a % p + b % p) % p （1）
(a – b) % p = (a % p – b % p) % p （2）
(a * b) % p = (a % p * b % p) % p （3）
(a^b) % p = ((a % p)^b) % p （4）
结合律：
((a+b) % p + c) % p = (a + (b+c) % p) % p （5）
((ab) % p * c)% p = (a * (bc) % p) % p （6）
交换律：
(a + b) % p = (b+a) % p （7）
(a * b) % p = (b * a) % p （8）
分配律：
((a +b)% p * c) % p = ((a * c) % p + (b * c) % p) % p （9）
重要定理：
若a≡b (% p)，则对于任意的c，都有(a + c) ≡ (b + c) (%p)；（10）
若a≡b (% p)，则对于任意的c，都有(a * c) ≡ (b * c) (%p)；（11）
若a≡b (% p)，c≡d (% p)，则 (a + c) ≡ (b + d) (%p)，(a – c) ≡ (b – d) (%p)，
(a * c) ≡ (b * d) (%p)，(a / c) ≡ (b / d) (%p)； （12）

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int a, b, p;

// calculate (a ^ b) mod p
int power(int a, int b, int p) { 
    int ans = 1 % p;
    for (; b; b >>= 1) {
        if (b & 1)
            ans = (long long)ans * a % p;
        a = (long long)a * a % p;
    }
    return ans;
}

int main() {
    cin >> a >> b >> p;
    cout << power(a, b, p) << endl;
}

上面的代码中，通过右移>> ，与& 两个运算的结合，遍历了b的二进制表示下的每一位。
在循环到第i次时（从0开始计数），变量a中存储的是 ${a^2}^i$，若b当前位为1，则把此时的变量b积累到答案ans中。

---

求a乘b对p取模的值，其中1≤a,b,p≤ $10^{18}$

18次方太大，乘法运算要越界。
把快速幂次方换成乘积，相应的ans*a变成ans+a

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
long long a, b, p;

long long mul(long long a, long long b, long long p) {
	long long ans = 0;
	for (; b; b >>= 1) {
		if (b & 1) ans = (ans + a) % p;
		a = a * 2 % p;
	}
	return ans;
}

int main() {
	cin >> a >> b >> p;
	cout << mul(a, b, p) << endl;
}