[模板]计算几何-二维Point

浮点精度

const double eps = 1e-8;
const double inf = 1e20;
const double pi = acos(-1.0);
const int maxp = 1010;
int sgn(double x) {
    if(fabs(x) < eps) return 0;
    if(x < 0) return -1;
    return 1;
}

$sgn三态函数用于减少浮点的精度问题$

叉积

//　叉积
double operator ^ (const Point &b)const {
	return x*b.y - y*b.x;
}

定义
向量叉积： $a × b = absin(\theta)$
模长： $|a × b| = |a||b|sin(\theta)$
方向： $\theta 的方向是从a \to b方向的夹角。$
$叉积的方向满足a\to b的右手法则，即与a,b构成的平面垂直。$
这里写图片描述
性质
$1.|a × b| = a和b构成的平行四边形面积$
$如上图因为|a × b| = |a||b|sin(\theta) ;|a|sin(\theta) = h$
$|a × b| = h|b| = S_{ABCD}$
$2.叉积判断线段拐向$
$a × b ==0 : a和b平行$
$a × b > 0 : b在a的逆时针方向(0< \theta \leq 108^。)$
$a × b < 0 : b在a的顺时针方向(0< \theta \leq 108^。)$
$3.判断点在多边形内$
$4.判断两直线相交(跨立实验)$
$5.极角排序$

点积

//　点积
double operator * (const Point &b)const {
	return x*b.x + y*b.y;
}

定义
$a \bullet b = |a||b|cos(\theta)$
这里写图片描述
$a \bullet b = |a||b|cos(\theta) = d|a|;d是b在a上的投影$

计算 pa 和 pb 的夹角

// 测试LightOJ1203
double rad(Point a,Point b) {
	Point p = *this;
	return fabs(atan2(fabs((a-p)^(b-p)),(a-p)*(b-p)));
}

$x = p \to a;y = p \to b$
$x × y = |x||y|sin(\theta)$
$x\bullet y = |x||y|cos(\theta)$
$tan(\theta) = \frac{x × y}{x \bullet y}$

化为长度为r的向量

Point trunc(double r) {
	double l = len();
	if(!sgn(l)) return *this;
	r /= l;
	return Point(x*r,y*r);
}

用途
已知直线向量。求出直线上任意一点
这里写图片描述
$如图已知点A(x1,y1),C(x2,y2)。想要计算出距离点A长度为r的B点坐标$
$B = A + (C-A).trunc(r)$

向量绕点P旋转angle

$公式已知点A(x,y),绕点P(a,b)逆时针转\theta 得到B(x1,y1)$
$x1 = a + x*cos(\theta)-y*sin(\theta)$
$y1 = b + x*sin(\theta)+y*cos(\theta)$

Point rotate(Point p,double angle) {
	Point v = (*this) - p;
	double c = cos(angle),s = sin(angle);
	return Point(p.x + v.x*c - v.y*s,p.y+v.x*s + v.y*c);
}

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const double eps = 1e-8;
const double inf = 1e20;
const double pi = acos(-1.0);
const int maxp = 1010;
int sgn(double x) {
    if(fabs(x) < eps) return 0;
    if(x < 0) return -1;
    return 1;
}
inline double sqr(double x) {return x*x;}
struct Point {
    double x,y;
    Point() {}
    Point(double _x,double _y) {
        x = _x;
        y = _y;
    }
    void input() {
        scanf("%lf%lf",&x,&y);
    }
    void output() {
        printf("%.2f %.2f\n",x,y);
    }
    bool operator == (Point b)const {
        return sgn(x-b.x) == 0 && sgn(y-b.y) == 0;
    }
    bool operator < (Point b)const {
        return sgn(x-b.x) == 0 ? sgn(y-b.y)<0 : sgn(x-b.x)<0;
    }
    Point operator - (const Point &b)const {
        return Point(x-b.x,y-b.y);
    }
    //　叉积
    double operator ^ (const Point &b)const {
        return x*b.y - y*b.x;
    }
    //　点积
    double operator * (const Point &b)const {
        return x*b.x + y*b.y;
    }
    // 返回长度
    double len() {
        return hypot(x,y); // 库函数
    }
    // 
    double len2() {
        return x*x + y*y;
    }
    double distance(Point p) {
        return hypot(x-p.x,y-p.y);
    }
    Point operator + (const Point &b)const {
        return Point(x+b.x,y+b.y);
    }
    Point operator * (const double &k)const {
        return Point(x*k,y*k);
    }
    Point operator / (const double &k)const {
        return Point(x/k,y/k);
    }
    // 计算 pa 和 pb 的夹角
    // 测试LightOJ1203
    double rad(Point a,Point b) {
        Point p = *this;
        return fabs(atan2(fabs((a-p)^(b-p)),(a-p)*(b-p)));
    }
    // 化为长度为r的向量
    Point trunc(double r) {
        double l = len();
        if(!sgn(l)) return *this;
        r /= l;
        return Point(x*r,y*r);
    }
    // 逆时针旋转90度(绕原点)
    Point rotleft() {
        return Point(-y,x);
    }
    // 顺时针旋转90度(绕原点)
    Point rotright() {
        return Point(y,-x);
    }
    // 绕着p点逆时针旋转angle
    Point rotate(Point p,double angle) {
        Point v = (*this) - p;
        double c = cos(angle),s = sin(angle);
        return Point(p.x + v.x*c - v.y*s,p.y+v.x*s + v.y*c);
    }
};
int main()
{

}