二维几何-圆、球

圆是任意一点拥有唯一的圆心角。所以在定义圆的时候，可以加一个圆心角求坐标的函数。

首先是辅助宏：

const double eps = 1e-10;
const double PI = acos(-1);  // π
const double TWO_PI = 2*PI;
const int maxn = 100 + 5;
const int INF = 10000;

圆的存储结构定义：

struct Circle
{
    Point c;
    double r;

    Circle(Point c, double r):c(c), r(r){}
    Point point(double a)
    {
        return Point(c.x + r*cos(a), c.y + r*sin(a));
    }
};

直线与圆的交点。假定直线为AB，圆的圆心为C，半径为r。

我们可以通过解方程组的方式解决。

设交点为P=A+t（B-A），代入圆方程整理后先得到(at+b)^2 + (ct+d)^2 = r^2 进一步整理后得到一元二次方程et^2 + ft + g=0 根据判别式的值可以区分三种情况，即午无交点，一个交点和两个交点。

函数返回的是交点的个数，参数sol存放的是交点本身。注意上述代码并没有清空sol，这样可以反复调用这个函数，把所有交点放在一个sol里。

int getLineCircleIntersection(Line L, Circle C, double& t1, double& t2, vector<Point>& sol)
{
    double a, b, c, d, e, f, g, delta;

    a = L.v.x;
    b = L.p.x - C.c.x;
    c = L.v.y;
    d = L.p.y - C.c.y;
    e = a*a + c*c;
    f = 2 * (a*b + c*d);
    g = b*b + d*d - C.r*C.r;
    //判别式
    delta = f*f - 4*e*g;
    //相离
    if(dcmp(delta) < 0)
        return 0;
    //相切
    if(dcmp(delta) == 0)
    {
        t1 = -f / (2*e);
        t2 = t1;
        sol.push_back(L.point(t1));

        return 1;
    }
    //相交
    t1 = (-f - sqrt(delta)) / (2*e);
    sol.push_back(L.point(t1));
    t2 = (-f + sqrt(delta)) / (2*e);
    sol.push_back(L.point(t2));

    return 2;
}

两圆相交。

假定圆心分别为C1和C2，半径为r1和r2，圆心距为d，根据余弦定理可以算出C1C2到C1P1的角da，根据向量C1C2的极角a，加减da就可以得到C1P1和C1P2的极角。有了极角，就可以很方便地计算出P1和P2的坐标了。

余弦定理：对于下面三角形ABC，有表达式：

int getCircleCircleIntersection(Circle C1, Circle C2, vector<Point>& sol)
{
    double d, a, da;
    Point p1, p2;

    d = Length(C1.c - C2.c);
    if(dcmp(d) == 0)
    {
        if(dcmp(C1.r - C2.r) == 0)   //两圆重合
            return -1;
        return 0;
    }

    if(dcmp(C1.r + C2.r - d) < 0)    //两圆相离
        return 0;
    if(dcmp(fabs(C1.r - C2.r) - d) > 0) //两圆内含
        return 0;
    a = angle(C2.c - C1.c);         //向量c1c2的极角
    da = acos((C1.r*C1.r + d*d - C2.r*C2.r) / (2*C1.r*d));
    //c1c2到c1p1的角、
    p1 = C1.point(a-da);
    p2 = C1.point(a+da);

    sol.push_back(p1);
    if(p1 == p2)
        return 1;
    sol.push_back(p2);
    return 2;
}

过定点做圆的切线。先求出pq的距离和pc的夹角ang，则向量pc的极角ang就是两条切线的极角。注意切线不存在和只有一条的情况。

过点p到圆C的切线，v[i]是第i条切线的向量。返回切线条数。

int getTangents(Point p, Circle C, Vector *v)
{
    double dist, ang;
    Vector u;

    u = C.c - p;
    dist = Length(u);
    //没有切线
    if(dist < C.r)
        return 0;
    //p在圆上，只有一条切线
    else if(dcmp(dist - C.r) == 0)
    {
        v[0] = Rotate(u, PI/2);
        return 1;
    }
    ang = asin(C.r / dist);
    v[0] = Rotate(u, ang);
    v[1] = Rotate(u, -ang);
    return 2;
}

两圆的公切线。根据两圆的圆心距从小到大排列。

情况一：两圆完全重合，有无数条公切线。

情况二：两圆内含，没有公共点。没有公切线。

情况三：两圆内切。有一条公切线。

情况四：两圆相交。有两条外公切线。

情况五：两圆外切。有三条公切线，其中一条内公切线，两条外公切线。

情况六：两圆相离。有四条公切线，其中内公切线两条，外公切线两条。

情况三和情况五中的内公切线都对应于“过圆上一点求圆的切线”，只需连接圆心和切点。旋转90度即可直到切线的方向向量。

返回切线的条数，-1表示无数条切线。

int getTangents(Circle A, Circle B, Point *a, Point *b)
{
    double d, base, ang;
    int cnt;
    Vector u;

    if(A.r < B.r)                                  //选择圆半径大的为A，便于后面计算
    {
        swap(A, B);
        swap(a, b);
    }
    cnt = 0;
    u = B.c - A.c;
    d = Length(u);                                 //圆心距
    base = angle(u);                               //两圆心向量极角
    if(dcmp(d) == 0)
    {
        if(dcmp(A.r - B.r) == 0)                   //重合
            return -1;
        return 0;                                  
    }
    if(dcmp(A.r - B.r - d) > 0)                    //内含
        return 0;
    if(dcmp(A.r - B.r - d) == 0)                   //内切
    {
        a[cnt] = A.point(base);                    //根据极角求坐标
        b[cnt] = B.point(base);
        cnt++;
        return 1;
    }

    ang = acos((A.r-B.r) / d);                     //向量u与圆心与交点连线之间的角
    a[cnt] = A.point(base + ang);
    b[cnt] = B.point(base + ang);
    cnt++;
    a[cnt] = A.point(base - ang);
    b[cnt] = B.point(base - ang);
    cnt++;
    if(dcmp(d - A.r - B.r) == 0)                   //外切
    {
        a[cnt] = A.point(base);
        b[cnt] = B.point(base + PI);                //加PI：因为在圆B中，圆心之间的向量为-u，所以要加上180度
        cnt++;
    }
    else if(dcmp(d - A.r - B.r) > 0)               //相离
    {
        ang = acos((A.r+B.r) / d);                 //用三角函数公式可求
        a[cnt] = A.point(base + ang);
        b[cnt] = B.point(base + ang + PI);
        cnt++;
        a[cnt] = A.point(base - ang);
        b[cnt] = B.point(base - ang + PI);
        cnt++;
    }

    return cnt;
}

球面相关问题。

经纬度转换为空间坐标。经线圈（-180度-180度）和纬线圈（0度-360度）的概念相信大家并不陌生，但如何把经纬度转化为对于球心的空间左边呢？可以先算出z坐标：用半径乘以sin（纬度）就可以了，然后乘以cos（纬度），投影到x，y平面，在按照平面上的方法乘以经度的正余弦。

lat为纬度角度， lng为经度角度

x=rcos(lat)cos(lng)

y=rcos(lat)sin(lng)

z=rsin(lat)

角度转换成弧度。此为逆时针的角度，若为顺时针，加上负号。

double torad(double deg)
{
    return deg / 180.0 * PI;
}

经纬度转换为空间坐标

void get_coord(double R, double lat, double lng, double &x, double &y, double &z)
{
    lat = torad(lat);
    lng = torad(lng);
    z = R * sin(lat);
    x = R * cos(lat) * cos(lng);
    y = R * cos(lat) * sin(lng);
}

球面距离:已知球面两点，如何求出它们的最短路?注意，只能沿着球面走，不能穿过球的内部。从表面走的话，最近的路径是走圆弧，具体来说是走大圆圆弧。用一个穿过球心的平面截这个球，截面就是一个大圆。怎么求大圆弧长呢？你无需想象那个大圆的空间位置，而可以把它们想象成一个平面问题：求半径r，弦长为d的圆弧长度。

圆心角为2arcsin(d/2r),因此弧长为2arcsin(d/2r)r. （弧长=圆心角（弧度）* 半径）

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