计算几何--二维几何前置基础知识

内容参考书籍——《算法竞赛入门经典训练指南》

　　在平面坐标系下，向量和点一样用两个数，x和y表示。判断相等使用“三态函数”dcmp，减少精度问题。另外，向量有一个所谓的“极角”，即从x轴正半轴旋转到该方向所需的角度。c标准库里的atan2函数就是用来求极角的，例如：向量（x,y）的极角就是atan2(y,x)(单位：弧度)。

　　点积，高中知识。

　　叉积。简单地说，两个向量的叉积等于两个向量组成的三角形的有向面积的两倍。(图中带箭头的向量为v，和v同一个起点的另外一条向量为w，忘记标v和w了尴尬)

cross（v,w）>0 cross(v,w)<0

　　顺着第一个向量v看，，如果w在左边，那么v和w的叉积大于0，否则小于0.如果两个向量共线（方向相同），那么叉积等于0（三角形退化成为线段）。不难发现，叉积不满足交换律。事实上，cross(v,w)=-cross(w,v)。在坐标系下，两个向量的叉积等于x_Ay_B-x_By_A。

　　位置。当我们把叉积和点积组合在一起时，我们便可以细致地判断两个向量的位置关系。第一个向量v总是水平向右的，那么另外一个点就可以用这样的方式确定位置关系（点积符号，叉积符号）。例如，当w在第二象限时点积为负但叉积均为正，用（-,+）表示。

　　旋转。向量可以绕起点旋转，公式为x^，= xcosa-ysina , y^，= xsina+ycosa。其中a为逆时针旋转的角。

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　　单位法线。旋转90°后把长度归一化即可。

　　以上内容采用如下代码实现：

 1 struct Point
 2 {
 3     double x,y;
 4     Point(double x=0, double y=0):x(x),y(y) {}//构造函数，方便编写代码
 5 };
 6 typedef Point Vector;//别名
 7 //向量+向量=向量，点+向量=点
 8 Vector operator + (Vector A, Vector B){return Vector(A.x+B.x,A.y+B.y);}
 9 //点-点=向量
10 Vector operator - (Vector A, Vector B){return Vector(A.x-B.x,A.y-B.y);}
11 //向量*数=向量
12 Vector operator * (Vector A, double p){return Vector(A.x*p,A.y*p);}
13 //向量/数=向量
14 Vector operator / (Vector A, double p){return Vector(A.x/p,A.y/p);}
15 
16 bool operator < (const Point& a, const Point& b){return a.x<b.x||(a.x==b.x&&a.y<b.y);}
17 
18 const double eps = 1e-10;
19 int dcmp(double x)
20 {
21     if (fabs(x) < eps) return 0;
22     else return x < 0 ? -1 : 1;
23 }
24 
25 bool operator == (const Point& a, const Point &b){return dcmp(a.x-b.x) == 0 && dcmp(a.y-b.y) == 0;}
26 
27 //计算点积、向量长度、夹角函数
28 double Dot(Vector A, Vector B){return A.x*B.x+A.y*B.y;}
29 double Length(Vector A){return sqrt(Dot(A,A));}
30 double Angle(Vector A, Vector B){return acos(Dot(A,B)/Length(A)/Length(B));}
31 
32 //计算叉积
33 double Cross(Vector A,Vector B){return A.x*B.y-A.y*B.x;}
34 double Area2(Point A, Point B, Point C){return Cross(B-A,C-A);}
35 
36 //计算旋转和单位法向量
37 //rad为弧度
38 Vector Rotate(Vector A, double rad){return Vector(A.x*cos(rad)-A.y*sin(rad),A.x*sin(rad)+A.y*cos(rad));}
39 Vector Normal(Vector A)
40 {
41     double L =Length(A);
42     return Vector(-A.y/L,A.x/L);
43 }

　　点和直线。采用参数方程表示直线。直线上一点P₀和方向向量v表示

计算几何--二维几何前置基础知识

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