空域分析及变换（1）

滤波/卷积

我们称 $(f*g)(n)$ 为 $f,g$ 的卷积

其连续的定义为：

$\displaystyle (f*g)(n)=\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(n-\tau )d\tau \\$

其离散的定义为：

$\displaystyle (f*g)(n)=\sum _{\tau =-\infty }^{\infty }{f(\tau )g(n-\tau )}\\$

这两个式子有一个共同的特征：

我们令 $x=\tau ,y=n-\tau$ ，那么 $x+y=n$ 就是下面这些直线：

如果遍历这些直线，就好比，把毛巾沿着角卷起来：

通俗点讲：

卷积就是一个单纯的数学计算公式，可以简单的理解为你被别人打了一拳，疼痛感并不会马上消失，那么我们将这疼痛感随着时间的变化定义为h(t)，t是初始拳打出后过去的时间。如果这拳是一倍的力道，那么就是后续疼痛感函数就是1*h(t)，那么现在我们定义这个力道为f(n)，n是该拳打出时的时刻，所以当第0秒打出一拳时，疼痛感就是f(0)h(0)，在第1秒再次打出一拳，那么疼痛感就是f(0)h(1-0)+f(1)h(1-1)=f(0)h(1)+f(1)h(0)，在第2秒再次打出一拳,那么疼痛感就是f(0)h(2-0)+f(1)h(2-1)+f(2)h(2-2)=f(0)h(2)+f(1)h(1)+f(2)h(0)......那么可以推出任意时刻的疼痛感就是∑f(n)h(t-n)。

卷积在图像处理中的应用

在每个图片位置(x,y)上进行基于领域的函数计算

不同函数需要定义不同的函数

图像增强
信息提取

参数解释

f[k,l]是权重,

I[x+k,y+l]则图片中对应的像素值

k,l是卷积核中的坐标

h[x,y]则是卷积结果

下面是图示：

这是一个卷积核，上图的坐标也就是每次计算所对应的k,l

这就是一次完整的公式计算

那么也就碰到了这样一个问题，卷积核越大，那么对应的输出结果也就越小，如果想要输出和原图一样大小，怎么办呢？

那么就需要卷积核中心就对应于图像的起始像素点，

但是这样就又碰到了问题，卷积核超出了边界部分，如下图

解决的办法就是需要边界补充，有四种补充方式

补零
边界复制
镜像
块复制

平滑均值卷积

卷积核需要是奇数尺寸，3*3 , 5*5 , 2n-1 * 2n-1
参数和为1

下面是效果图

操作原理：

平滑中值卷积

卷积核奇数尺寸
操作原理

卷积域内的像素值从小到大排列
去中间值作为卷积输出

有效去除椒盐噪声

卷积域内的像素值排列后

输出

效果图

平滑高斯卷积

卷积核奇数尺寸
模拟人眼关注中心区域
有效去除高斯噪声
参数

x,y是卷积参数坐标(卷积核中相对应于中心的坐标，中心及原点)
标准差σ

原理

首先高斯分布不是高斯滤波/卷积

高斯分布

高斯分布公式： $f(x)= \frac{1} {\sqrt{2\pi}\sigma}{e^{-{(x-u)}^2}/{2{\sigma}^2}}\qquad$

它的形状与分布：

u决定了图像的分布对称中心，σ决定了分布形状，σ越小，形状越瘦高，σ越大，形状越矮小

在高斯分布中，函数是一维的，那么怎么推到二维呢？

只需要把数值 $x$ 变为向量 $\vec x$ 即可：

$f(\vec x)= \frac{1} {(\sqrt{2\pi}\sigma)^2}{e^{-{(\vec x-\vec u)}^2/{2{\sigma}^2}}}\qquad$

(其中不必纠结于系数 $\frac{1}{(\sqrt{2\pi}\sigma)^2}$ ,因为它只是一个常数！并不会影响互相之间的比例关系，并且最终都要进行归一化（因为我们需要像均值平滑进行计算，所以需要卷积核的和是1），所以在实际计算时我们是忽略它而只计算后半部分的) 当 $\vec x$ 为二维时, $\vec x =(x,y)$ 。这个公式其实可以表示任意维度的高斯分布。 需要特别注意的是： $\vec x, \vec \mu$ 本质上都是二维空间中的坐标： $\vec x$ 是掩膜内任一点的坐标， $\vec \mu$ 是掩膜中心的坐标！(统计学中称为均值，即坐标的均值)