一、z变换的引入

首先，我们来看看DTFT的公式： $X(e^{jω}) = \sum_{n = -∞}^{+∞}x[n]e^{-jωn}\\ \space\\ x[n] = \frac{1}{2π}\int_{2π}X(e^{jω})e^{jωn}dω$
那么我们对于第一个式子，如果令 $z = e^{jω}$ ，那么就有： $X(z) = \sum_{n = -∞}^{+∞}x[n]z^{-n}$
这是当 $|z| = 1$ 时的 z 变换公式。那么，如果更一般的讲，我们令： $z = re^{jω}$ ，那么就有： $\begin{aligned} X(z) &= \sum_{n = -∞}^{+∞}x[n]z^{-n}\\ &=\sum_{n = -∞}^{+∞}x[n]r^{-n}e^{-jωn}\\ &=\mathscr{F}(x[n]r^{-n}) \end{aligned}$
也就是说，z 变换可以看作是 $x[n]r^{-n}$ 的傅里叶变换。其中，当 $r = 1$ 时，就变成了傅里叶变换。

值得注意的是，我们看 $z = re^{jω}$ 的表达式，其实是极坐标形式， $r$ 就可以表示半径。那么在 $z$ 变换里面非常关键的就是单位圆，他的作用与拉氏变换里面的虚轴一样。

二、一些常用的 z 变换对

首先我们来看看 $x[n] = a^nu[n]$

他的DTFT我们很熟悉：当 |a| < 1时， $x[n] = a^nu[n]$ 的DTFT为： $\frac{1}{1 - ae^{-jω}}$
下面我们来看看它的z变换： $\begin{aligned} X(z) &= \sum_{n=-∞}^{+∞}a^nu[n]z^{-n}\\ &=\sum_{n=0}^{+∞}a^nz^{-n}\\ &=\sum_{n=0}^{+∞}(az^-1)^n \end{aligned}$
我们发现，这就是一个等比数列求和问题了。为了使得数列的和有限存在，我们应该令公比 $(az^{-1})<1$ ，那么数列的和即为： $X(z) = \frac{1}{1 - az^{-1}} = \frac{z}{z - a}$
其ROC为： $|az^{-1}| < 1$ ，即： $|z| > |a|$ ，所以我们知道 ROC 的形状是一个半径大于 $|a|$ 的区域。那么这里又分为两种情况：1. $0 < |a| < 1$ 2. $|a| > 1$ 。我们看看 $0 < |a| < 1$ 的图：
可想而知，当 $|a| >1$ 时，其傅里叶变换就不存在了（因为 ROC不包括单位圆）

下面我们来看看 $x[n] = -a^nu[-n-1]$

$\begin{aligned} X(z) &= \sum_{n=-∞}^{+∞}-a^nu[-n-1]z^{-n}\\ &=-\sum_{n=-∞}^{-1}a^nz^{-n}\\ &=-\sum_{n=1}^{+∞}a^{-n}z^{n}\\ &=1 - \sum_{n=0}^{+∞}(a^{-1}z)^n \end{aligned}$
同样地就变成了等比数列求和，要使得和有限，就应有： $|a^{-1}z| < 1$ ，即： $|z| < |a|$ ，那么结果为： $X(z) = 1 - \frac{1}{1 - a^{-1}z} = \frac{z}{z - a}$
但是，虽然 z 变换的表达式和上面那个情况一样，但是 ROC却大有不同：