简单组合学(4) Polya计数定理(2)

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$\text{Definition }$群$G\leqslant S_n的k-$不动置换类$Z_k$称作使$a_k$不改变位置的置换集合,它是群$G$的子群.

例如群$G=\{e,(1\ 2),(3\ 4),(1\ 2)(3\ 4)\}$的$Z_1=\{e,(3\ 4)\}$.
证明:
$Z_k$是$k-$不动置换类,因此$(k)$是任意$Z_k$元素的因子,不妨令它成为$(n)$,易知$(n)(n)=(n)$,于是剩下的因子构成的置换集合$G_{\{n\}}$会有$G_{\{n\}}\leqslant S_{n-1}(n>1)$.

$\text{Definition }$下标集合$E_k=\{a_1=k,a_2,a_3,\dots,a_l\}$称为$k-$等价类,若$\forall a_i\in E_k,\exists p_i,s.t.(a_1\ a_i)|p_i$,这里$|$为置换的整除关系若唯一分解$p_i=\prod (a_i\ a_j)$中包含$(a_1\ a_i)$,称$p_i$被$(a_1\ a_i)$整除.

$\text{Theorem }$若$G$是置换群,则$\forall k\in [1,n],|G|=|E_k||Z_k|$.

证明:
设$E_k=\{a_1=k,a_2,\dots,a_l\}$.
易知$\forall a_i\in E_k,\exists p_i\in G,s.t.p_i(k)=a_i.$
那么$\forall p\in Z_k,(k\ a_i)|pp_i,(k\ a_j)\not | pp_i$,这就说明:

$$Z_kp_i\cap Z_kp_j=\varnothing \tag{1}$$
下面证明 $\displaystyle G=\sum_{i=1}^l Z_kp_i$.
$\forall p_ip_j=p\in G$,这就证明了 $\displaystyle \bigcup_{i=1}^{l}Z_kp_i\subseteq G$.
$\forall p\in G$,必然有 $\exists a_i\in E_k,(k\ a_i)|p$,于是 $pp_i^{-1}\in Z_k 即p\in Z_kp_i$,于是 $\displaystyle G\subseteq\bigcup_{i=1}^{l}Z_kp_i$.
所以 $\displaystyle G=\bigcup_{i=1}^l Z_kp_i$.
又由 $(1)$式,就证明了 $\displaystyle G=\sum_{i=1}^l Z_kp_i$.两边计算群阶,就证明了定理.

$\text{definition }$若$G$是置换群,说$p\in G$含有不动点$\delta_k$,就是说$(k)|p$.记$\displaystyle c_1(p)=\sum_{k=1}^n[(k)|p]$,即$c_1(p)$是对置换$p$不动点的计数.

$\text{Burnside's Lemma }$若$G\subseteq S_n$,那么$G$对$n$元集合的作用下的等价类计数$f(G)$为:

$$f(G)=\frac{1}{|G|}\sum_{p\in G}c_1(p)$$

证明:
设$G$中所有置换的不动点的总数为$X$,那么$\displaystyle X=\sum_{p\in G}c_1(p)$.
而若$p\in Z_k$,则$(k)|p$,这就是在说$\displaystyle |Z_k|=\sum_{p\in G}[(k)|p]$,所以$\displaystyle X=\sum_{k=1}^n\sum_{p\in G}[(k)|p]=\sum_{k=1}^n|Z_k|$.
又$\displaystyle \sum_{k=1}^n|Z_k|=\sum_{k=1}^{n}\frac{|G|}{|E_k|}=|G|\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{|E_k|}$.
显然属于$\overline {k}$等价类的个数有$|E_\overline {k}|$个,所以$\displaystyle \sum_{k=1}^n\frac{1}{|E_k|}=\sum_{i=1}^n\sum_{\overline{k}=1}^{f(G)}[i\in E_\overline{k}]\frac{1}{|E_\overline{k}|}=\sum_{\overline{k}=1}^{f(G)}1=f(G)$.
于是$\displaystyle f(G)=\frac{1}{|G|}\sum_{p\in G}c_1(p)$.

举个例子:
$\text{Example }$求空间三角形染两种颜色本质不同的方案.

解:
首先列出所有八种方案,从左至右从上至下分别编号为1,2,3,…,8.

  黑      黑      黑      黑
黑  黑  黑  白  白  黑  白  白
  白      白      白      白
黑  黑  黑  白  白  黑  白  白

知道:
记顺时针旋转$60^\circ$的置换为$\rho$,记沿中线翻转$180^\circ$的置换为$\pi$,那么$G=\{e,\rho,\rho^2,\pi,\pi\rho,\pi\rho^2\}.$
$e=(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8),\rho=(1)(2\ 3\ 5)(4\ 7\ 6)(8),\pi=(1)(2\ 3)(4)(5)(6\ 7)(8),$
$\rho^2=(1)(2\ 5\ 3)(4\ 6\ 7)(8),\pi\rho=(1)(2\ 5)(3)(4\ 7)(6)(8),\pi\rho^2=(1)(2)(3\ 5)(4\ 6)(7)(8).$
于是:

$$\begin{aligned} f(G)=&\frac{1}{|G|}(c_1(e)+c_1(\rho)+c_1(\pi)+c_1(\pi\rho)+c_1(\rho^2)+c_1(\pi\rho^2))\\ =&\frac{1}{6}(8+2+4+4+2+4)=4. \end{aligned}$$

下面列出本质相同的方案:

  黑      黑      黑      白
黑  黑  黑  白  白  白  白  白

确实是这样的.

看完了这些,你或许已经稍微掌握了$\text{Burnside}$引理的内容,但是这个引理当初是怎么来的呢？或者说,如果从群论的观点出发,对于这个引理会有什么新的理解？如果你想了解,可以继续往下看:

$\text{Definition }群G是S的置换群,其对集合S上某元素s的作用产生一个新的集合,记作轨G(s)=\{gs|g\in G\}.$

想象一个有限映射$f(s_1)=s_2$,显然$f$可以成为一个群,那么这样一个群就是上文的群$G$.例如$f(s_1)=s_2,g(s_2)=s_3$,那么$g(f(s_1))=(g\circ f)(s_1)=s_3$,如果$g,f$是双射,确实$g\circ f$确实能够给出一个新的双射.

$\text{Theorem }$$G,S由上文给出,那么G(s)$确定$S$的一个等价类.

证明:
1)$\forall s\in S,s\in G(s).由此易知\displaystyle S= \bigcup_{s\in S} G(s)$.
2)若$s_1,s_2\in G(s_1)\cap G(s_2),那么G(s_1)=G(s_2).$
因为$s_2\in G(s_1)\Rightarrow \exists g\in G,s_2=gs_1\Rightarrow \exists g^{-1}\in G,s_1=g^{-1}s_2$.于是,
$\forall s\in G(s_1),s=g_1s_1=g_1g^{-1}s_2=g_1's_2,于是s\in G(s_2)$.
$\forall s\in G(s_2),s=g_2s_2=g_2gs_1=g_2's_1,于是s\in G(s_1)$.
从而$G(s_1)=G(s_2)$.
3)若$s_1\notin G(s_2),那么G(s_1)\cap G(s_2)=\varnothing.$
设$s\in G(s_1)\cap G(s_2)$,那么$s=g_1s_1=g_2s_2$,于是$s_1=g_1^{-1}g_2s_2$,这就是说$s_1\in G(s_2)$,但由已知,这是不可能的,于是$G(s_1)\cap G(s_2)=\varnothing$.

综上三点$G(s)$划分$S$的一个等价类,事实上这对应我们之前所描述的$E_k$.那么$Z_k$由什么给出呢？

我们知道如果$\forall g_1,g_2\in G,g_1s\neq g_2s$,那么$G(s)=|G|$.但往往,$|G(s)|\leqslant |G|$,也就是它们不会是严格相等的关系(具体例子,请读者自己尝试举出).
原因就是$\exists g_1,g_2 \in G,g_1s=g_2s$,那么这就是在说$\exists g\in G,g_2^{-1}g_1s=gs=s$.

$\text{Definition }$G,S由上文给出,称$G_s$是$G$对$s$的稳定子群,如果$G_s=\{g|gs=s,g\in G\}$.

下面证明$G_s\leqslant G$.

证明:
1)如果$g_1,g_2\in G_s$,那么$g_1s=g_2s=s$,所以$g_1g_2s=g_1s=s$,所以$g_1g_2\in G_s$.
2)如果$g\in G_s$,那么$gs=s$,所以$g^{-1}s=s$,所以$g^{-1}\in G_s$.
3)显然$es=s$,所以$e\in G_s$.

$\text{Theorem }$$G,S由上文给出$$\forall s\in S那么|G/G_s|=|G(s)|$,即$|G|=|G(s)||G_s|$,即$G_s$的指数为$|G(s)|$.

证明:
设$g'\in G$,那么$\forall g\in G_s,s'=g'gs=g's$,所以$(g'G_s)(s)=g'(s)$,
但是$g'g\neq g'$,设$g'g\in g'G_s,s.t. g'(s)=s'$,那么我们至多找到$G(s)$个这样的集合.
因为令$s_1=g_1gs,s_2=g_2gs,...s_{|G|}=g_{|G|}gs$,至多有$G(s)$个不同的$s_i$,各取一个代表,易知$\displaystyle G=\bigcup_{i=1}^{|G(s)|}g_{i}G_s$,并且右侧集合两两不相交,所以$|G|=|G(s)||G_s|$.

由上定理,我们不难得到以下结论:
1)$G_s$就是前文的$Z_k$.
2)考虑$H\leqslant G$,$H$同样有对$G$集合上元素的作用,并且$H(e)=|G|$,$H(g)=0,g\neq e \in G$,这就是在说$|G|=|H(e)||H|=[G:H]|H|$,从而我们知道了$\text{Burnside}$引理是$\text{Lagrange}$定理的推广.