简单组合学(3)

Polya计数定理(1)

$\S$ 1 引言

在固定的正六边形顶点上摆放一个黑球、一个红球和四个白球的方法有多少种,读过初中的人一定能够轻而易举地得到答案,读过小学的人也能够枚举所有结果,答案是 $6\times 5=30$ 种.
但是如果不固定呢？学过高中化学的应该有所印象,一共是 $3$ 种(联系一下二甲苯的种类,这三种分别是对二甲苯,间二甲苯和邻二甲苯).
之所以有这种不同,是因为后者不同摆放的方式因为结构相同的原因而被重复计算了,这就使得得到的结果是错误的.

$\S$ 2 对称群

1.置换与轮换

对于一个三角形来说,调换顶点的方式,称为运动(几何置换).
列举出等边三角形ABC的所有置换：
$\displaystyle \left(\begin{matrix}A&B&C\\A&B&C\end{matrix}\right)、\left(\begin{matrix}A&B&C\\A&C&B\end{matrix}\right)、\left(\begin{matrix}A&B&C\\B&A&C\end{matrix}\right)、\ \left(\begin{matrix}A&B&C\\C&B&A\end{matrix}\right)、\left(\begin{matrix}A&B&C\\B&C&A\end{matrix}\right)、\left(\begin{matrix}A&B&C\\C&A&B\end{matrix}\right)$
显然这又可以写成 $I=(A)(B)(C)、X=(A)(B\ C)、Y=(A B)(C)、\\P=(A\ C)(B)、Q=(A\ B\ C)、R=(A\ C\ B)$
置换,轮换如何去写,基本在所有的近世代数或者抽象代数的书里都会有涉及,另外这种记法也是简明易懂的,所以在这里就不会去解释是怎么来的.

2.群与子群

集合 $G$ 及运算 $\circ$ 满足
$\begin{aligned}(1)&结合律,a\circ(b\circ c)=(a\circ b)\circ c.\\(2)&存在单位元,\exists e\in G,s.t\forall x\in G,x\circ e=e\circ x=x\\(3)&每个元素存在逆元,\forall x\in G,\exists b\in G,s.t.a\circ b=e,e由(2)定义\\\end{aligned}$
集合 $G$ 及运算 $\circ$ 就组成了一个代数系统,称为群.

$\text{Example 2.1}$ 在1的置换中,对于任意三角形ABC,如果先进行一次Q置换,再进行一次R置换,所得到的三角形与原来没有任何差别,另外我们发现进行一次I置换和原来没有任何差别.我们知道置换的本质就是一个映射,那么由映射的复合： $Q\circ R=I$ .另外可以发现以下表运算.
$\begin{matrix}a\circ b&I&X&Y&P&Q&R\\I&I&X&Y&P&Q&R\\X&X&I&R&Q&Y&P\\Y&Y&Q&I&R&P&X\\P&P&R&Q&I&X&Y\\Q&Q&P&X&Y&R&I\\R&R&Y&P&X&I&Q\end{matrix}$
所以三角形的运动组成了一个对称群(显然,我们可以看见群不一定满足交换律！).
群 $G$ 的子集 $H$ 上的运算如果依然满足群的定义,那么把 $\left<H,\circ\right>$ 称为 $G$ 的子群,显然在上例中, $\{I,X,Y,P\}$ 是 $G$ 的子群, $\{I,Q,R\}$ 也是 $G$ 的子群(习惯问题,群也可以指为运算中的集合).
并且如果把 $S_n$ 称为n顶点中的所有置换组成的群,三角形的运动恰巧组成了 $S_3$ (事实上正n边形的运动不一定都与置换群相等).
$\text{Example 2.2}$ 如果在空间取定一个立方体 $1234-5678$ ,对其以任意角度进行旋转,其中有部分运动构成对称的置换.

\begin{aligned} (1) & 单 位 元 θ 对 定 体 1234 - 5678 进 行 不 动 变 换; \\ (2) & 以 对 面 心 连 线 为 轴 的 旋 转, 一 共 三 个, 每 个 轴 有 四 个 不 同 的 旋 转 (x \cdot 90^{\circ}); \\ (3) & 以 对 顶 点 连 线 为 轴 的 旋 转, 一 共 四 个, 每 个 轴 有 三 个 不 同 的 旋 转 (x \cdot 120^{\circ}); \\ (4) & 以 对 边 中 点 连 线 为 轴 的 旋 转, 一 共 六 个, 每 个 轴 有 两 个 不 同 的 旋 转 (x \cdot 180^{\circ}); \end{aligned}

$\displaystyle \begin{aligned} (1)&单位元\theta对定体1234-5678进行不动变换;\\ (2)&以对面心连线为轴的旋转,一共三个,每个轴有四个不同的旋转(x\cdot 90^\circ);\\ (3)&以对顶点连线为轴的旋转,一共四个,每个轴有三个不同的旋转(x\cdot120^\circ);\\ (4)&以对边中点连线为轴的旋转,一共六个,每个轴有两个不同的旋转(x\cdot180^\circ);\\ \end{aligned}$
(csdn这里加载得好丑！不得不用 $ $… $ $了)
但是(2)(3)(4)均包括了一个不动变换,因此一共有

1 + 3 (4 - 1) + 4 (3 - 1) + 6 (2 - 1) = 24

$1+3(4-1)+4(3-1)+6(2-1)=24$ 个不同的对称置换,这

24

$24$ 个不同置换构成了立方体的旋转群,可以知道这直接确定了六元(面)、八元(边)、十二元(顶点)的

24

$24$ 阶置换群.

Example 2.3

$\text{Example 2.3}$ 如果令

π = (1 2 \dots N)

$\pi=(1\ 2\ \dots\ N)$ 为N-轮换,则其对正N边形上顶点进行置换,并且所有的

π

$\pi$ 复合构成群,

C_{N} = {π^{1}, \dots, π^{N} = e}

$C_N=\{\pi^1,\dots,\pi^N=e\}$ ,由于单一元素

π

$\pi$ 即可生成所有的元素,所以称其为N阶循环群,也记作

⟨ π ⟩

$\left<\pi\right>$ .如果令

σ

$\sigma$ 为正N边型某一对称轴的

180^{\circ}

$180^\circ$ 旋转变换,那么可以知道

σ

$\sigma$ 也产生一个顶点的置换,

σ

$\sigma$ 的特点是：

N = 2 n - 1 (n \in N_{+}) 时 σ (\begin{matrix} 1 & 2 & \dots & n & n + 1 & \dots & 2 \\ 1 & 2 n - 1 & \dots & n + 1 & n & \dots & 2 n - 1 \end{matrix}) = (1) (2 2 n - 1) (3 2 n - 2) \dots (n n + 1)

$N=2n-1(n\in N_+)时\sigma \left(\begin{matrix}1&2&\dots&n&n+1&\dots&2\\1&2n-1&\dots&n+1&n&\dots&2n-1\end{matrix}\right)\ =(1)(2\ 2n-1)(3\ 2n-2)\dots(n\ n+1)$ ,其完全轮换分解有n个表示为

1^{1} 2^{n - 1}

$1^12^{n-1}$ 型轮换.

N = 2 n (n \in N_{+}) 时 σ (\begin{matrix} 1 & 2 & \dots & n & n + 1 & \dots & 2 & 1 \\ 2 n & 2 n - 1 & \dots & n + 1 & n & \dots & 2 n - 1 & 1 \end{matrix}) = (1 2 n) (2 2 n - 1) (3 2 n - 2) \dots (n n + 1)

$N=2n(n\in N_+)时\sigma \left(\begin{matrix}1&2&\dots&n&n+1&\dots&2&1\\2n&2n-1&\dots&n+1&n&\dots&2n-1&1\end{matrix}\right)\ =(1\ 2n)(2\ 2n-1)(3\ 2n-2)\dots(n\ n+1)$ ,其完全轮换分解有n个表示为

2^{n}

$2^n$ 型轮换.
总的来说

D_{N} = σ C_{N}

$D_N=\sigma C_N$ 也为一个群,称其为N阶二面体群(因为平面图形表现出了空间的性质,具有正反两面).