说明
本文参考了组合数学课件,精简整理了一下内容并谈谈自己的理解
定义
设{
}为一序列,把该序列中
和它前面几个
(0≤i≤n)关联起来的方程称做一个递推关系(递归关系)。
类似于
=1,
=1的叫做初值
初值+递推关系=带初值的递推关系
说白了就是用前面推出来的值推出当前值,然后再推出后面的值的一个递推式,和dp的递推式差不多。
经典例子
1.在一个平面上有一个圆和n条直线,这些直线中的每一条在圆内都同其他的直线相交。如果没有多于三条的直线相交于一点,试问这些直线将圆分成多少个不同区域?
设这n条直线将圆分成的区域数为
,如果有n-1条直线将圆分成
个区域,那么再加入第n条直线与在圆内的其他n-1条直线相交。显然,这条直线在圆内被分成n条线段,而每条线段又将第n条直线在圆内经过的区域分成两个区域。这样,加入第n条直线后,圆内就增加了n个区域。而对于n=0,显然有
=1,所以有如下递推公式:
展开可以看出类似等差数列,化简后得:
2.“Hanoi塔”问题:n个大小不一的圆盘依半径的大小,从下而上的套在柱子A上。如图所示。现要求将所有的圆盘从柱子A上全部移到柱子C上,每次只允许从一根柱子上转移一个圆盘到另一根柱子上,且在转移过程中不允许出现大圆盘放到小圆盘上。试问至少要转移多少次才能将柱子上的n个圆盘全部转移到柱子C上去?
用
表示从一根柱子上的
个圆盘全部转移到另一根柱子上的转移次数。显然,
,
。当
时,要将柱子A上的
个圆盘转移到柱子C上,可以这样设想。先把柱子A上的
个圆盘转移到柱子B上,这需要转移
次;然后把柱子A上最后一个圆盘转移到柱子C上,显然这需要转移一次;最后再把柱子B上的n-1个圆盘转移到柱子C上,这也需要转移
次。到此时转移完毕,一共转移了
次。于是可以建立如下带初值的递推关系:
3.“Fibonacci兔子问题”也是组合数学中的著名问题之一。这个问题是指:从某一年某一月开始,把雌雄各一的一对兔子放入养殖场中,从第二个月雌兔每月产雌雄各一的一对新兔。每对新兔也是从第二个月起每月产一对兔子。试问第n个月后养殖场中共有多少对兔子?
设第
个月时养殖场中兔子的对数为
。并定义
,显然有,
。
由于在第
个月时,除了有第
个月时养殖场中的全部兔子
外,还应该有
对新兔子,这是因为在第
个月就已经有的每对兔子,在第
个月里都应生一对新的兔子。因此可以建立如下带初值的递推关系.
该数列即为Fibonacci数列
5.在一个平面中,有n个圆两两相交,但任二个圆不相切,任三个圆无公共点,求这n个圆把平面分成多个区域?
设这
个圆将平面分成
个区域。易知,
。
现在假设前
个圆将平面分成了
个区域,当加入第
个圆(虚线圆)时,由题设这个圆与前面的
个圆一定交于
个点,这
个点把第n个圆分成
条弧,而每条弧正好将前面的
个圆分成的区域中的其经过的每个区域分成
个区域,故新加入的第
个圆使所成的区域数增加了
。因此可以建立如下带初值的递推关系:
5.设有 个数 的连乘积为 。试求不同的结合方式数(加括号的方式)。
设不同的结合方式数为
。定义
,显然有
。
由于对乘积
的任一结合方式,必有某一个k使得最后的运算为积
与积
相乘。当k 固定时,对乘积
有
种不同的结合方式,而对乘积
有
种不同的结合方式。由乘法法则知,对某一个
共有
种不同的结合方式。再由加法法则即得如下带初值的递推关系: