组合数学（第二章、递推关系和生成函数）

这一章讲的是递推关系求解的几种方法

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一、利用特征方程求解

1.线性齐次递推关系

比如递推关系是$h_n=a_1h_{n-1}+a_2h_{n-2}+…+a_kh_{n-k}$
我们设$h_n=q^n$ 下面函数的解。

$$g(x)=x^k-a_1x_{k-1}-…-a_{k-1}x-a_k$$
我们称这个函数为特征函数。

无重根时：

所以解就是

$$h_n=x_1q_1^n+x_2q_2^n+…+x_kq_k^n$$
例题：
求 $h_n=2h_{n-1}+2h_{n-2}\quad h_0=1,h_1=3$
解：特征方程为 $x^2-2x-2=0$
得 $q_1=1+\sqrt3\quad q_2=1-\sqrt3$
即 $h_n=c_1(1+\sqrt3)^n+c_2(1-\sqrt3)^n$
根据 $h_0=1,h_1=3$得 $h_n=\dfrac{2+\sqrt3}{2\sqrt3}(1+\sqrt3)^n+\dfrac{-2+\sqrt3}{2\sqrt3}(1-\sqrt3)^n$

有重根时：

解就是：

$$h_n=\sum_{i=1}^tP_i(n)q_i^n$$
例题：
求 $h_n=-h_{n-1}+3h_{n-2}+5h_{n-3}+2h_{n-4}\quad h_0=1,h_1=0,h_2=1,h_3=2$
解：特征方程为 $x^4+x^3-3x^2-5x-2=0$
得 $q_1=-1(三重),q_2=2$
即 $h_n=(c_1n^2+c_2n+c_3)(-1)^n+c_42^n$
根据 $c_1,c_2,c_3,c_4$得， $h_n=(\dfrac{7}{9}-\dfrac{3n}{9})(-1)^n+\dfrac{2}{9}2^n$

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2.线性非齐次递推关系

类似高数里面的线性非齐次方程的求解(知识是相通的，你一点不会，终会造成大漏洞)。

$$线性非齐次递推关系的通解=线性齐次递推关系的通解+线性非齐次递推关系的通解$$

利用公式

例题：求$h_n=6h_{n-1}-9h_{n-2}+2n\quad h_0=1,h_1=0$
先求$A_n=6A_{n-1}-9A_{n-2}$
特征方程：$x^2-6x+9=0$
得$A_n=(an+b)3^n$
特解：类比高数(忘了的自行复习)由于$F(n)=2n*1^n$,1为原函数的0重特征根
所以$B_n=n^0(cn+d)1^n=cn+d$
带入原递推方程$cn+d=6(c(n-1)+d)-9(c(n-2)+d)+2n$
得$c=\dfrac{1}{2},d=\dfrac{2}{3}$
所以，$h_n=A_n+B_n=(an+b)3^n+\dfrac{1}{2}n+\dfrac{3}{2}$
带入$h_0,h_1$得：$h_n=(-\dfrac{n}{6}-\dfrac{1}{2})3^n+\dfrac{1}{2}n+\dfrac{3}{2}$

转化为线性齐次方程

例题：$a_n=a_{n-1}+n,a_0=1$
为了方便写博客，我们设$F_n即是a_n=a_{n-1}+n$
$F_n-F_{n-1}即是a_n=2a_{n-1}-a{n-2}+1$
$REDEFINE:F_n即是a_n=2a_{n-1}-a{n-2}+1$
$F_n-F_{n-1}即是a_n=3a_{n-1}-3a_{n-2}+a_{n-3}$
根据上面的方法，得：$a_n=\dfrac{n^2+n+1}{2},n≥3$
经检验$a_0,a_1,a_2$也符合，得：$a_n=\dfrac{n^2+n+1}{2},n≥0$

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二、生成函数

三种生成函数：
1.普通生成函数$f(x)=\sum_{n=0}^∞a_nx^n$
2.指数型生成函数：$f(x)=\sum_{n=0}^∞\dfrac{a_n}{n!}x^n$
3.Dirichlet生成函数：$f(s)=\sum_{n=1}^∞\dfrac{a_n}{n^s}$
例题：求常数列{1}得三种生成函数
1.$\sum_{n=0}^∞x^n=\dfrac{1}{1-x}$
2.$\sum_{n=0}^∞\dfrac{x^n}{n!}=e^x$
3.$\sum_{n=1}^∞\dfrac{1}{n^s}:=Zeta(s)$
例题：$a_n=2a_{n-1}$
生成函数为
$f(x)=\sum_{n=0}^∞a_nx^n=1+\sum_{n=1}^∞a_nx^n=1+2x\sum_{n=0}^∞a_nx^n=1+2xf(x)$
所以$f(x)=\dfrac{1}{1-2x}=\sum_{n=0}^∞(2x)^n=\sum_{n=0}^∞2^nx^n$
所以$a_n=2^n$
推论：$\sum_{n=0}^∞\begin{pmatrix}n+k-1\\n \end{pmatrix}=\dfrac{1}{(1-x)^k}$
例题：从数量不限的苹果、香蕉、橘子和梨中，选取n个水果装成一袋，且选取的苹果数是偶数，香蕉数是5的倍数，橘子最多有4个，而梨最多有一个。记这样的装法有$h_n$种，求$h_n$。
解：
$(1+x^2+x^4+…)(1+x^5+x^{10}+…)(1+x+x^2+x^3+x^4)(1+x)$
$=\dfrac{1}{1-x^2}.\dfrac{1}{1-x^5}.\dfrac{1-x^5}{1-x}.(1+x)$
$=\dfrac{1}{(1-x)^2}=\sum_{n=0}^∞\begin{pmatrix}n+1\\n\end{pmatrix}$
所以，$h_n=n+1$

Bell数

$$B_n=\sum_{k=1}^n\begin{pmatrix}n-1\\k-1\end{pmatrix}B_{n-k}$$
设 $B(x)=\sum_{n≥0}\dfrac{B_n}{n!}x^n\quad$则 $\dfrac{dB(x)}{dx}=e^xB(x)$
所以 $B(x)=e^{e^x-1}$
从而 $B_n=\dfrac{1}{e}\sum_{k=0}^∞\dfrac{k^n}{k!}$