51nod-1670-打怪兽(递推/组合数学)

1670 打怪兽 

基准时间限制：1 秒 空间限制：131072 KB 分值: 40  难度：4级算法题

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lyk在玩一个叫做“打怪兽”的游戏。
游戏的规则是这样的。
lyk一开始会有一个初始的能量值。每次遇到一个怪兽，若lyk的能量值>=怪兽的能量值，那么怪兽将会被打败，lyk的能量值增加1，否则lyk死亡，游戏结束。
若怪兽全部打完，游戏也将会结束。
共有n个怪兽，由于lyk比较弱，它一开始只有0点能量值。
n个怪兽排列随机，也就是说共有n!种可能，lyk想知道结束时它能量值的期望。
由于小数点比较麻烦，所以你只需要输出期望*n!关于1000000007取模后的值就可以了！

 

例如有两个怪兽，能量值分别为{0,1}，那么答案为2，因为游戏结束时有两种可能，lyk的能量值分别为0和2。期望为1,1*2!=2，所以答案为2。

Input

第一行一个数n(1<=n<=100000)。
接下来一行n个数ai表示怪兽的能量(0<=ai<n)。

Output

一行表示答案

Input示例

2
0 1

Output示例

2

　　　　　　哎碰见数学就gg，刚开始以为答案就是方案个数和，后来才明白是总得分之和，就是所有情况对应的得分之和。
令f[i]表示过了第i层之后还没死的当前方案个数，有f[i]=f[i-1]*x%MOD, x表示在第i层可以打过的怪兽数量,x=tot[i-1]-(i-1)//因为前i-1层打过了i-1只所以要减去。
然后统计在第i层死亡的方案个数乘上得分(i-1)累加到答案上即可，最后记得加上得分为i的情况，也就是打过了所有的怪兽。

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstring>
 3 #include<queue>
 4 #include<cstdio>
 5 using namespace std;
 6 #define LL long long 
 7 LL MOD=1000000007;
 8 LL jc[100010];
 9 LL a[100010];
10 LL tot[100010];
11 LL f[100010];
12 int main(){
13     LL i,j,k,n;
14     jc[0]=1;
15     for(LL i=1;i<=100000;++i)
16       jc[i]=jc[i-1]*i%MOD;
17     cin>>n;
18     for(i=1;i<=n;++i) scanf("%lld",a+i),tot[a[i]]++;
19     for(i=1;i<=n;++i) tot[i]+=tot[i-1];
20     f[0]=1;
21     LL ans=0;
22     for(i=0;i<n;++i){
23         LL x=tot[i]-i;
24         LL y=tot[n]-tot[i];
25         f[i+1]=f[i]*x%MOD;//到第i+1轮仍存活的方案个数 
26         LL tmp=f[i]*y%MOD*jc[n-i-1]%MOD*i%MOD;
27         ans+=tmp; 
28         ans%=MOD;
29     }
30     ans+=f[n]*n; 
31     ans%=MOD;
32     cout<<ans<<endl;
33     return 0;
34 }