无监督数据降维技术——主成分分析

数据压缩技术可以帮助我们对数据进行存储和分析，特征提取通过归纳总结数据集所蕴含的信息，可以将原始数据集变换到一个维度更低的新的特征子空间，从而实现数据压缩。

无监督数据降维技术——主成分分析

主成分分析是一种广泛应用于不同领域的无监督线性数据转换技术，其突出作用是降维。

PCA的目标是在高维数据中找到最大方差的方向，并将数据映射到一个维度不大于原始数据的新的子空间上。

如果使用PCA降维，我们将构建一个 d * k维的转换矩阵 W，这样可以将一个样本向量 x 映射到一个新的 k 维特征子空间上去，此空间的维度小于原始的 d 的维特征空间：
PCA

完成从原始 d 维数据到新的 k 维子空间，第一主成分的方差应该是最大的，由于各主成分之间是不相关的（正交的），后续主成分也具备尽可能大的方差。需要注意的是，主成分的方向对数据值的范围高度敏感，因此，需要先对特征进行标准化处理，以让各特征具有相同的重要性。
PCA算法流程

import pandas as pd
df_wine = pd.read_csv('https://archive.ics.uci.edu/ml/machine-learning-databases/wine/wine.data', header=None)

from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.preprocessing import StandardScaler

X, y = df_wine.iloc[:, 1:].values, df_wine.iloc[:, 0].values
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.3, random_state=0)

sc = StandardScaler()
X_train_std = sc.fit_transform(X_train)
X_test_std = sc.transform(X_test)

通过上述代码完成数据的预处理后，进入第二步：构造协方差矩阵。可通过如下公式计算两个特征 ${x_j}$ 和 ${x_k}$ 之间的协方差：

${u_j}$ 和 ${u_k}$ 分别为特征 j 和 k 的均值。请注意，如果对数据集做了标准化处理，样本的均值将为0。
协方差矩阵的特征向量代表主成分（最大方差方向），而对应的特征值大小就决定了特征向量的重要性。
numpy中的linalg.eig函数可以用来计算数据集协方差矩阵的特征对。

import numpy as np 
cov_mat = np.cov(X_train_std.T)
eigen_vals, eigen_vecs = np.linalg.eig(cov_mat)
print('\nEigenvalues \n%s' % eigen_vals)

执行结果如下：

Eigenvalues
[4.8923083  2.46635032 1.42809973 1.01233462 0.84906459 0.60181514
 0.52251546 0.08414846 0.33051429 0.29595018 0.16831254 0.21432212
 0.2399553 ]

因为要将数据集压缩到一个新的特征子空间上来实现数据降维，所以只选择那些包含最多信息（方差最大）的特征向量（主成分）组成子集。由于特征值的大小决定了特征向量的重要性，因此需要将特征值按降序排列。在整理包含信息量最大的前 k 个特征向量前，先绘制特征值的方差贡献率（variance explained ratios）图像。
特征值 ${\lambda_j}$ 的方差贡献率是指，特征值 ${\lambda_j}$ 与所有特征值和的比值：

tot = sum(eigen_vals)
var_exp = [(i / tot) for i in sorted(eigen_vals, reverse=True)]
cum_var_exp = np.cumsum(var_exp)

import matplotlib.pyplot as plt
plt.bar(range(1, 14), var_exp, alpha=0.5, align='center', label='individual explained variance')
plt.step(range(1, 14), cum_var_exp, where='mid', label='cumulative explained variance')
plt.ylabel('Explained variance ration')
plt.xlabel('Principal components')
plt.legend(loc='best')
plt.show()

方差贡献率
由图可以看到，第一主成分占方差总和的 40% 左右；此外，还可以看出前两个主成分占总体方差的近 60%。

特征转换

将协方差矩阵分解为特征对后，我们将对特征值按降序进行排列，并通过挑选出对应的特征向量构造出映射矩阵，然后使用映射矩阵将数据转换到低维的子空间上。

eigen_pairs = [(np.abs(eigen_vals[i]), eigen_vecs[:, i]) for i in range(len(eigen_vals))]
eigen_pairs.sort(reverse=True)

W = np.hstack((eigen_pairs[0][1][:, np.newaxis], eigen_pairs[1][1][:, np.newaxis]))
print('Matrix W:\n', W)

Matrix W:
 [[ 0.14669811  0.50417079]
 [-0.24224554  0.24216889]
 [-0.02993442  0.28698484]
 [-0.25519002 -0.06468718]
 [ 0.12079772  0.22995385]
 [ 0.38934455  0.09363991]
 [ 0.42326486  0.01088622]
 [-0.30634956  0.01870216]
 [ 0.30572219  0.03040352]
 [-0.09869191  0.54527081]
 [ 0.30032535 -0.27924322]
 [ 0.36821154 -0.174365  ]
 [ 0.29259713  0.36315461]]

本例只选择了两个特征向量，前两个特征值之和占据了数据集总体方差的60%。在实际应用中，确定主成分的数量时，需要根据实际情况在计算效率与分类器性能之间做出权衡。

通过计算矩阵的点积，可以将整个 124 * 13 维的训练数据集转换到包含两个主成分的子空间上：
矩阵压缩

X_train_pca = X_train_std.dot(W)

colors = ['r', 'b', 'g']
markers = ['s', 'x', 'o']
for l, c, m in zip(np.unique(y_train), colors, markers):
    plt.scatter(X_train_pca[y_train == l, 0], X_train_pca[y_train == l, 1], c=c, label=l, marker=m)
plt.xlabel('PC 1')
plt.ylabel('PC 2')
plt.legend(loc='lower left')
plt.show()

矩阵压缩

使用scikit-learn进行主成分分析

PCA也是scikit-learn中的一个数据转换类。下面，我们使用scikit-learn中的PCA对葡萄酒数据集做预处理，然后使用逻辑回归对转换后的数据进行分类，最后定义 plot_decision_region 函数对决策区域进行可视化展示。

from matplotlib.colors import ListedColormap
def plot_decision_regions(X, y, classifier, resolution=0.02):
    # setup marker generator and color map
    markers = ('s', 'x', 'o', '^', 'v')
    colors = ('red', 'blue', 'lightgreen', 'gray', 'cyan')
    cmap = ListedColormap(colors[: len(np.unique(y))])

    #plot the decision surface
    x1_min, x1_max = X[:, 0].min() - 1, X[:, 0].max() + 1
    x2_min, x2_max = X[:, 1].min() - 1, X[:, 1].max() + 1
    xx1, xx2 = np.meshgrid(np.arange(x1_min, x1_max, resolution), np.arange(x2_min, x2_max, resolution))
    Z = classifier.predict(np.array([xx1.ravel(), xx2.ravel()]).T)
    Z = Z.reshape(xx1.shape)
    plt.contourf(xx1, xx2, Z, alpha=0.4, cmap=cmap)
    plt.xlim(xx1.min(), xx1.max())
    plt.ylim(xx2.min(), xx2.max())

    #plot class samples
    for idx, cl in enumerate(np.unique(y)):
        plt.scatter(x=X[y == cl, 0], y=X[y == cl, 1], alpha=0.8, c=cmap(idx), marker=markers[idx], label=cl)

from sklearn.linear_model import LogisticRegression
from sklearn.decomposition import PCA
pca = PCA(n_components=2)
lr = LogisticRegression()
X_train_pca = pca.fit_transform(X_train_std)
X_test_pca = pca.transform(X_test_std)
lr.fit(X_train_pca, y_train)
plot_decision_regions(X_test_pca, y_test, classifier=lr)
plt.ylabel('PC1')
plt.xlabel('PC2')
plt.legend(loc='lower left')
plt.show()

scikit-learn中的PCA
执行上述代码，绘制出了测试集的决策区域，可以看到：逻辑回归在这个小的二维特征子空间上表现优异，只误判了1个样本。
请注意，在初始化PCA类时，将 n_components 设置为None，那么它将按照方差贡献率递减顺序返回所有的主成分，而不是进行降维操作。

参考文献：
Python Machine Learning/Chapter 5: Compressing Data via Dimensionality Reduction