【置换群&Polya定理的扩展】Cubes UVA - 10601

题意：用12根木条搭建正方体，给出每根木条颜色，木条颜色编号1~6，求能搭建不同的正方体的数量。两个正方体视为不同当且仅当不能在旋转翻转等操作后重合。
样例：
3
1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6
输出：
1
5
312120
分析：

置换群$G,|G|=24$。
不动置换：$\;(\;1\;)(\;2\;)(\;3\;)(\;4\;)(\;5\;)(\;6\;)(\;7\;)(\;8\;)(\;9\;)(\;10\;)(\;11\;)(\;12\;)\;$
绕x-x’轴旋转:$\;(\;1\quad2\quad3\quad4\;)(\;5\quad6\quad7\quad8\;)(\;9\quad10\quad11\quad12\;)\;$
$\quad\;\;\quad \quad\quad(\;4\quad3\quad2\quad1\;)(\;8\quad7\quad6\quad5\;)(\;12\quad11\quad10\quad9\;)$
$\quad\;\;\quad \quad\quad(\;1\quad3\;)(\;2\quad4\;)(\;5\quad7\;)(\;6\quad8\;)(\;9\quad11\;)(\;10\quad12\;)$
$\quad\;\;\quad\quad\quad$选取x-x’的方式有三种，所以以上置换形式的数目要乘三。
绕y-y’轴旋转:$\;(\;6\;)(\;8\;)(\;1\quad12\;)(\;2\quad11\;)(\;3\quad10\;)(\;4\quad9\;)(\;5\quad7\;)\;$
$\quad\;\;\quad\quad\quad$选取y-y’的方式有六种，所以以上置换形式的数目要乘六。
绕z-z’轴旋转:$\;(\;1\quad6\quad12\;)(\;2\quad11\quad8\;)(\;3\quad7\quad4\;)(\;5\quad10\quad9\;)\;$
$\quad\;\;\quad \quad\quad(\;12\quad6\quad1\;)(\;8\quad11\quad2\;)(\;4\quad7\quad3\;)(\;9\quad10\quad5\;)$
$\quad\;\;\quad\quad\quad$选取z-z’的方式有四种，所以以上置换形式的数目要乘四。
对应的多项式$P$:
不动置换：$P_1=1*(x_1+x_2+...+x_6)^{12}$
绕x-x’轴旋转:$P_2=3*2*(x_1^4+x_2^4+...+x_6^4)^3$
$\quad\;\quad \quad\quad P_3=3*(x_1^2+x_2^2+...+x_6^2)^6$
绕y-y’轴旋转:$P_4=6*(x_1+x_2+...+x_6)^2(x_1^2+x_2^2+...+x_6^2)^5$
绕z-z’轴旋转:$P_5=4*2*(x_1^3+x_2^3+...+x_6^3)^4$
对于第二个样例：1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
$ans=\frac{1}{|G|}*项x_1^2x_2^{10}的系数和=\frac{1}{24}*[(P_1中)\frac{12!}{2!10!}+(P_3中)3*\frac{6!}{1!5!}+(P_4中)6*(\frac{5!}{5!}+\frac{5!}{1!4!}*\frac{2!}{2!})]=5.$

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAXN 13
#define LL long long
LL fac[MAXN];
int c[MAXN],n[4]={12,3,4,6},m[4]={1,4,3,2},a[4]={1,6,8,3};
int main()
{
    fac[0]=1;
    for(int i=1;i<MAXN;i++)
        fac[i]=fac[i-1]*i;
    int tm,x;
    scanf("%d",&tm);
    while(tm--)
    {
        for(int i=1;i<=6;i++) c[i]=0;
        for(int i=1;i<=12;i++)
        {
            scanf("%d",&x);
            c[x]++;
        }
        LL ans=0;
        for(int i=0;i<4;i++)
        {
            LL tmp=fac[n[i]];
            for(int j=1;j<=6;j++)
                if(c[j]%m[i]==0)
                    tmp/=fac[c[j]/m[i]];
                else
                {
                    tmp=0;
                    break;
                }
            ans+=a[i]*tmp;
        }
        for(int i=1;i<=6;i++)
        {
            if(c[i]==0) continue;
            for(int j=i;j<=6;j++)
            {
                if(c[j]==0) continue;
                if(i==j&&c[j]<2) continue;
                c[i]--,c[j]--;
                LL tmp=fac[6]*(1+(i!=j));
                for(int k=1;k<=6;k++)
                    if(c[k]%2==0)
                        tmp/=fac[c[k]/2];
                    else
                    {
                        tmp=0;
                        break;
                    }
                c[i]++,c[j]++;
                ans+=tmp;
            }
        }
        printf("%lld\n",ans/24);
    }
}