【OTFS与信号处理：论文阅读2】基于OTFS调制的迭代信道估计与检测算法

2023.3.3 最近在研究OTFS迭代信道估计与信号检测相关问题，最近精读了一篇论文，并针对论文中部分公式进行推导，故记录一下学习过程。

【OTFS与信号处理：论文阅读】基于OTFS调制的迭代信道估计与检测算法 Iterative Channel Estimationand Data Detection Algorithm For OTFS Modulation

前言
一、引入
- 稀疏信号表示
- - 标准的稀疏信号表示算法
二、帧结构设计
三、论文算法
四、总结

前言

论文题目：Iterative Channel Estimationand Data Detection Algorithm For OTFS Modulation
论文地址： https://ieeexplore.ieee.org/document/9747191
论文来源：ICASSP 2022 - 2022 IEEE International Conference on Acoustics, Speech and Signal Processing (ICASSP)
本文算法的基本思想是在消息传递辅助的信号检测和信号辅助的信道估计之间迭代。将这一稀疏信道估计问题重建成最大后验问题的一个特定边缘化。为降低问题求解的复杂度，提供了一个基于VB-EM变分平均场近似的贝叶斯方法。

一、引入

稀疏信号表示

标准的稀疏信号表示算法

(参考Boltzmann Machineand Mean-Field Approximation for Structured Sparse Decompositions)
目前文献中可用的算法大致可分为四大类：

基于问题松弛的算法：这些过程用Lp范数(0<p≤1)代替L0范数。这种近似导致了一个可以通过标准优化程序有效解决的松弛问题。基于这种方法的著名算法实例是基追踪(BP)、最小绝对收缩和选择算子(LASSO)或焦点欠定系统求解器(FocUSS)算法。
迭代阈值算法：这些程序通过进行一系列阈值操作来构建稀疏向量。这个家族的第一个相关工作是由Kingsbury和Reeves实现的，他们推导出一个迭代阈值方法来解决问题(2)。然而，他们的贡献是在与目标函数(2)没有明确联系的情况下完成的。我们在中找到了他们结果的更明确的版本，其中Blumensath和Davies引入了迭代硬阈值(IHT)算法。Daubechies等人。在中提出一个类似的过程，同时用-norm替换-norm。由此产生的算法依赖于软阈值操作。
追踪算法：这些方法通过做出一系列贪婪决策来构建稀疏向量。目前的文献中存在许多追踪算法。在最流行的方法中，我们可以引用匹配追踪(MP)、正交匹配追踪(OMP)或正交最小二乘法(OLS)。后一种算法不允许每次迭代选择一个以上的原子。最近的程序避免了这种限制，例如StagewiseOMP(StOMP)、子空间追踪(SP)[20]或压缩采样匹配追踪(CoSaMP)。
贝叶斯算法：这些程序将SR问题表达为贝叶斯推理问题的解决方案，并应用统计工具来解决它。他们主要通过先验模型、所考虑的估计问题以及他们用于解决该问题的统计工具类型来区分。关于先验的选择，一种流行的方法是将其建模为连续随机变量，其分布在零处有尖峰和重尾（例如Cauchy、Laplace、-Student,Jeffrey的分布）。最近流行起来的另一种方法是基于由伯努利和高斯分布组合而成的先验。存在伯努利-高斯(BG)模型的不同变体。第一种方法在于假设接近于零，而大的定义了非零系数的非信息先验。基于BG变量的另一个模型如下：稀疏向量的元素定义为高斯和伯努利变量的乘积。这两个不同的层次BG模型共享一个相似的边际表达形式：其中是伯努利变量的参数。虽然在上面介绍的第一个BG模型中可以调整为任何正实数值，但在第二个模型中它被设置为0。这种边际公式直接用于许多贡献。

二、帧结构设计

2.1 从嵌入导频到叠加导频设计

2.1.1 简要回顾嵌入导频设计

（参考：《EmbeddedPilot-AidedChannelEstimationforOTFSinDelay–DopplerChannels》）

由于符号和导频之间存在干扰，故有必要根据最大多普勒和时延的大小在二者中间放置一定数量的保护间隔。而在接收端将接收到的信号分成两部分分别用于信道估计和符号检测，保护间隔保证信道估计和符号检测的符号彼此不会互相干扰。

2.1.2 研究现状（叠加导频）

（参考《OTFS Channel Estimation and Data Detection Designs With Superimposed Pilots》）
由于传统的基于导频的信道估计，可以通过将导频叠加到信息符号来减少这种SE损失。参考文献[10]提出了一种叠加训练（SuperimposedTraining,ST）辅助方法，用于在单个载波系统的时频域中估算双重选择信道。参考文献[11]-[13]在时间频域中使用ST的概念进行单/多信道估计。这些文献至关重要的是几乎是时间不变的信道（这样对于信道参数的估计才有意义），并使用了带有零均值数据符号的定期叠加导频（SP）。这使他们能够使用接收信号的统计数据来减轻数据和导频之间的相互干扰。[14]，[15]中的作者提出了基于仿射预编码器（affine-precoder-based）的SP信道估计器，与[11]-[13]不同，该估计量完全消除了数据和导频之间的干扰，而SE的开销减少了。[11]-[15]中的设计也采用了时间不变的信道，该信道会降低其在迅速变化的信道中的性能。
数据依赖性叠加训练（data-dependentsuperimposedtraining，DDST）方案除了导频外，还叠加了传输信息符号上传输数据的算术平均值[16]。如[17]中所述，DDST方案具有数据识别性问题。参考文献[17]通过提出一种混合方案，称为联合均值去除SP和训练导频来解决它，以在MIMO系统中进行检测和信道估计，而在平坦衰落的准静态信道上。[17]中的设计类似于[11]-[13]，要求信道对大量帧进行时间不变，以计算接收信号的时间平均值。
[11]-[15]中的叠加导频辅助的时频域设计可以与OFDM系统无缝集成。它们扩展到估计延迟多普勒域OTFS信道系统是非平凡的。这是因为延迟多普勒域中的信道增益在（时频域）框架上迅速变化[8]，对于时间频域SP设计而言，这是不可取的。因此，要将SP框架扩展到OTFS系统，因此有必要估算框架内的信道并检测数据，并且在延迟多普勒域中的数据和导频之间存在相互干扰[8]。OTFS系统与其OFDM对应系统不同，它处理大小为M×N的完整传输帧，其中M和N，如图1所示，表示延迟和多普勒频段的数量[4]。这大大增加了OTFS系统的复杂性，因为它的信道矩阵是MN×MN大小。OTFS中的信道估计器和数据检测器都需要通过利用延迟多普勒信道稀疏性来设计，这将降低它们的复杂性。传统的数据检测器不利用OTFS稀疏性，因此计算效率不高[4]。此外，为了降低误码率(BER)并增加SE，需要在数据和导频符号之间优化分配传输功率。
鉴于上述挑战，我们在OTFS系统的延迟多普勒域中开发了SP辅助信道估计器和数据检测器。据我们所知，SP辅助的OTFS系统尚未得到研究。本文的主要贡献有助于将SP框架扩展到SISO OTFS系统，总结如下。1)OTFS方案在延迟多普勒域中处理符号，其中快速时变信道被转换为近静止信道[2]。这促使我们为OTFS提出基于频谱效率的基于SP的框架，如图1(b)所示，它由一个框架组成，与图1(a)中的[8]不同，它没有i)插入零在数据和导频之间；ii)需要专用延迟多普勒时隙来传输导频。与[7]不同，所提出的框架不需要专用的导频帧来估计信道。因此，所提出的框架将具有比[7]、[8]高得多的SE，并具有轻微的BER退化，这一事实我们将在稍后进行数值验证。

本节参考文献

[2] G. D. Surabhi, R. M. Augustine, and A. Chockalingam, “On the diversity of uncoded OTFS modulation in doubly-dispersive channels,” IEEE Trans. Wireless Commun., vol. 18, no. 6, pp. 3049–3063, Jun. 2019.
[4] P. Raviteja, K. T. Phan, Y. Hong, and E. Viterbo, “Interference cancella-tion and iterative detection for orthogonal time frequency space modu-lation,” IEEE Trans. Wireless Commun., vol. 17, no. 10, pp. 6501–6515, Oct. 2018.
[7] M. Kollengode Ramachandran and A. Chockalingam, “MIMO-OTFS in high-Doppler fading channels: Signal detection and channel estimation,” in Proc. IEEE Global Commun. Conf. (GLOBECOM), Dec. 2018, pp. 206–212.
[8] P. Raviteja, K. T. Phan, and Y. Hong, “Embedded pilot-aided channel estimation for OTFS in Delay–Doppler channels,” IEEE Trans. Veh. Technol., vol. 68, no. 5, pp. 4906–4917, May 2019.
[10] R. Carrasco-Alvarez, R. Parra-Michel, A. G. Orozco-Lugo, and J. K. Tugnait, “Time-varying channel estimation using two-dimensional channel orthogonalization and superimposed training,” IEEE Trans. Signal Process., vol. 60, no. 8, pp. 4439–4443, Aug. 2012.
[11] J. K. Tugnait and W. Luo, “On channel estimation using superimposed training and ﬁrst-order statistics,” IEEE Commun. Lett., vol. 7, no. 9, pp. 413–415, Sep. 2003.
[12] S. He, J. K. Tugnait, and X. Meng, “On superimposed training for MIMO channel estimation and symbol detection,” IEEE Trans. Signal Process., vol. 55, no. 6, pp. 3007–3021, Jun. 2007.
[13] S. He and J. K. Tugnait, “On doubly selective channel estimation using superimposed training and discrete prolate spheroidal sequences,” IEEE Trans. Signal Process., vol. 56, no. 7, pp. 3214–3228, Jul. 2008.
[14] N. N. Tran, D. H. Pham, H. D. Tuan, and H. H. Nguyen, “Orthogonal afﬁne precoding and decoding for channel estimation and source detec-tion in MIMO frequency-selective fading channels,” IEEE Trans. Signal Process., vol. 57, no. 3, pp. 1151–1162, Mar. 2009.
[15] N. Tran, H. Tuan, and H. Nguyen, “Superimposed training designs for spatially correlated MIMO-OFDM systems,” IEEE Trans. Wireless Commun., vol. 9, no. 3, pp. 876–880, Mar. 2010.
[16] M. Ghogho, D. McLernon, E. Alameda-Hernandez, and A. Swami, “Channel estimation and symbol detection for block transmission using data-dependent superimposed training,” IEEE Signal Process. Lett., vol. 12, no. 3, pp. 226–229, Mar. 2005.
[17] O. Longoria-Gandara et al., “Iterative MIMO detection and channel estimation using joint superimposed and pilot-aided training,” Mobile Inf. Syst., vol. 2016, pp. 3723862:1–3723862:11, Jan. 2016.

2.1.3 叠加导频方案

（参考论文：《terative Channel Estimation And Data Detection in OTFS Using Superimposed》与《OTFS Channel Estimation and Data DetectionDesignsWith Superimposed Pilots》）
如图b所示，这一设计将符号和导频叠加在dd域的同一位置上，取消了用于传输的导频帧，将低功率导频信号叠加在数据符号上进行传输。这样分配允许导频的能量分散在整个dd域上，同时与嵌入导频相比提高的了频谱效率，该方案将数据符号看作干扰，利用干扰消除算法（信道估计与检测之间的迭代）进行消除。