求最大公因数（辗转相除法&更相减损术）

求最大公因数（辗转相除法&更相减损术）

辗转相除法

又名欧几里得算法 ，其原理其实是基于这个定理：两个正整数a和b（a>b），它们的最大公约数等于a除以b的余数c和b之间的最大公约数 ，所以可以如下递归求出两数最大公因数
\[ f(a,b)=\left\{ \begin{array}{lll} b \qquad a\%b=0\\ f(a\%b,b) \qquad a\%b>b\\ f(b,a\%b) \qquad a\%b<b \end{array} \right. \]
递归实现（C++）：

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
int f(int a, int b){//a>b
    int r=a%b;
    if(r==0)    return b;
    if(r>b) return f(r,b);
    else    return f(b,r);
}
int main(){
    int a,b;
    cin>>a>>b;
    if(a<b)
        swap(a,b);
    cout<<f(a,b);
    return 0;
}

更相减损术

出自《九章算术》，其依据原理：两个正整数a和b（a>b），它们的最大公约数等于a-b的差值c和较小数b的最大公约数，同理，可以如下递归求出两数最大公因数：
\[ f(a,b)=\left\{ \begin{array}{lll} a \qquad a=b\\ f(a-b,b) \qquad a-b>b\\ f(b,a-b) \qquad a-b<b \end{array} \right. \]
递归实现（C++）：

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
int f(int a, int b){//a>b
    int r=a-b;
    if(r==0)    return b;
    if(r>b) return f(r,b);
    else    return f(b,r);
}
int main(){
    int a,b;
    cin>>a>>b;
    if(a<b)
        swap(a,b);
    cout<<f(a,b);
    return 0;
}

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