求最大公约数-辗转相除法（Java）

言：

求最大公约数的算法有很多，有更相减损法，辗转相除法等，但是较易用算法实现的，且效率相对较高的就是辗转相除法了。以下介绍用Java实现辗转相除法，记录学习通时也当作分享。

原理：

两个数的最大公约数是指能同时整除它们的最大正整数。

设两数为a、b(a≥b)，求a和b最大公约数

   

的步骤如下：

(1)用a除以b(a≥b)，得

   

。

(2)若

   

，则

   

；

(3)若

   

，则再用b除以

   

，得

   

.

(4)若

   

，则

   

；若

   

，则继续用

   

除以

   

，......，如此下去，直到能整除为止。

其最后一个余数为0的除数即为

   

的最大公约数。

例：用辗转相除法求（80，25）的最大公约数

80÷25=3......5

25÷5=5......0//余数为零，最大公约数为等式中的除数5

证明：

设两数为a、b(a>b)，用

   

表示a，b的 最大公约数，r=a (mod b) 为a除以b的余数，k为a除以b的商，即

   

。辗转相除法即是要证明

   

。

第一步：令

   

，则设

 

第二步：根据前提可知

 

第三步：根据第二步结果可知，

   

也是

   

的因数

第四步：可以断定

   

与

   

互质（这里用 反证法进行证明：设

   

，则

   

，则

   

，则a与b的一个公约数

   

，故c非a与b的最大公约数，与前面结论矛盾，则它们互质。又因 b=nc，r=（m-kn）c, 因此c也是b与r的最大公约数）从而可知

   

，继而

   

。

Java算法实现：

算法实现：

public class zhanzhuan {
	int a;	//定义被除数
	int b;	//定义除数
	int f(int a,int b) {
		this.a=a;
		this.b=b;
		int c;
		if(a<b) {	//将a设为较大数
			c=a;
			a=b;
			b=c;
		}
		int r=a%b;
		while(r!=0) {		//辗转相除
			a=b;
			b=r;
			r=a%b;
		}
		return b;		//b为最大公约数
	}
}

  调用：

class test{		//调用部分
	public static void main(String[] args) {
		zhanzhuan z = new zhanzhuan();
		z.a=98;
		z.b=26;
		System.out.println(z.a+"和"+z.b+"两数的最大公约数是："+z.f(z.a, z.b));
	}
}

  结果：