最长公共子序列问题（LCS）

公共子序列的意思是在两个序列中，按顺序找出共同出现的元素，这些元素按顺序排列就是原序列的子序列：例如Ａ＝ｚｘｙｘｙｚ，Ｂ＝ｘｙｙｚｘ；则Ａ和Ｂ的一个公共子序列为：ｘｙｙ，而最长公共子序列是：ｘｙｙｚ。因此，A和B的LCS长度为４.

POJ和HDU上面有LCS的题目，下边给出入门级别的题目：

(1)先说一下暴力方案( • ̀ω ⁃᷄)✧

设序列A长度为n,序列B长度为m。
列举出A所有的 $2^n$ 个子序列，对于每一个子序列在 $\Theta(m)$ 时间内来确定它是否也是B的子序列。
很明显，此算法的时间复杂度 $\Theta(m2^n)$

这个方案想法简单，但很可能TLE（time limited exceed)，所以就有了下面的算法———

(2)动态规划 Σ>―(〃°ω°〃)♡→

为了方便理解问题，我们约定序列的起始地址为1，而不是0。

首先我们寻找求LCS长度的状态转移方程（也就是递推式）。
令 $A=a_1a_2...a_n$ , $B=b_1b_2...b_m$ .
令 $L[i][j]$ 表示 $a_1a_2...a_i$ 和 $b_1b_2...b_j$ 的最长公共子序列的长度。
注意 $i$ 和 $j$ 可能是0，此时， $a_1a_2...a_i$ 和 $b_1b_2...b_j$ 中的一个或同时为空串。即如果 $i=0$ 或 $j=0$ ，那么 $L[i][j]=0$ .

容易得出以下LCS递推式：
$L[i][j] = \begin{cases}0, & \text{if $i=0$或$j=0$ } \\L[i-1][j-1]+1 , & \text{if $i>0,j>0 $ and $a_i=b_j$ } \\ max\{L[i][j-1],L[i-1][j]\}, & \text{if $i>0,j>0 $ and $a_i\not=b_j$ } \end{cases}$

递推式解释：

我们假设无论是 $L[i-1][j-1]$ 还是 $L[i][j-1],L[i-1][j]$ 都已经解出。现在来求 $L[i][j]$ 。
当 $i>0,j>0$ and $a_i=b_j$ 时，意味着A和B对应位置相等，因此该位置也是LCS的一部分，LCS长度+1。
当 $i>0,j>0$ and $a_i\not=b_j$ 时，意味着当前遍历到的序列对应位置不相等。而 $L[i][j]$ 的值必定是a1a2...ai-1与b1b2..bj的LCS长度（即 $L[i-1][j]$ ) 和 a1a2...ai与b1b2..bj-1的LCS长度（即 $L[i][j-1]$ )中的较大者。

现在，我们构建一个（n+1）x（m+1)表来计算L[i][j]，只需要用上面的公式逐行填表。见下面C++代码

#include<iostream>
#include<string>
#define Max(a,b) ((a)>(b))?(a):(b)
using namespace std;
string A,B;
int L[100][100];
int main(){
    int n,m;
    int i,j;
    cin>>A>>B;//读取字符串
    n=A.length();//计算长度
    m=B.length();
    for(i=0;i<=n;i++){//初始化j=0的情况
        L[i][0]=0;
    }
    for(j=0;j<=m;j++){//初始化i=0的情况
        L[0][j]=0;
    }
    for(i=1;i<=n;i++){
        for(j=1;j<=m;j++){
            if(A[i-1]==B[j-1])
                L[i][j]=L[i-1][j-1]+1;
            else
                L[i][j]=Max(L[i][j-1],L[i-1][j]);
        }
    }
    cout<<L[n][m]<<endl;
    return 0;
}

程序运行结果如图：
这里写图片描述

把上面的代码修改一下就可以刷POJ和HDU的那两道题啦。

动态规划详解（第二讲)——最长公共子序列问题（LCS）

最长公共子序列问题（LCS）

(1)先说一下暴力方案( • ̀ω ⁃᷄)✧

(2)动态规划 Σ>―(〃°ω°〃)♡→

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