Can you find it HDU5478（数学归纳法思想+快速幂）

Can you find it —HDU5478

Given a prime number$C(1≤C≤2×10^5)$, and three integers $k1, b1, k2 (1≤k1,k2,b1≤10^9)$. Please find all pairs (a, b) which satisfied the equation $a^{k_1⋅n+b_1} + b^{k_2⋅n−k_2+1} = 0 (mod\ C)(n = 1, 2, 3, ...).$
Input
There are multiple test cases (no more than 30). For each test, a single line contains four integers C, k1, b1, k2.
Output
First, please output “Case #k: “, k is the number of test case. See sample output for more detail.
Please output all pairs (a, b) in lexicographical order.$(1≤a,b<C)$
. If there is not a pair (a, b), please output -1.
Sample Input

23 1 1 2

Sample Output

Case #1:
1 22

题意：

让你输出所有满足的式子 $a^{k_1⋅n+b_1} + b^{k_2⋅n−k_2+1} = 0 (mod\ C)(n = 1, 2, 3, ...).$ 的数对（a，b）

分析：

我们按照数学归纳法的思想来分析一下

1） 验证n=1时是否成立

2）假设n = n时成立即

$$a^{k_1⋅n+b_1} + b^{k_2⋅n−k_2+1} = 0\ (mod\ C)$$

我们只需要验证n+1时成立即可

3）n+1时的式子相当于

$$a^{k_1⋅(n+1)+b_1} + b^{k_2⋅(n+1)−k_2+1} = 0\ (mod\ C)$$

$$a^{k_1⋅n+b_1}\cdot a^{k_1} + b^{k_2⋅n−k_2+1}\cdot b^{k_2} = 0\ (mod\ C)$$

成立

根据乘法取模运算的分配律

因为

$$a^{k_1⋅n+b_1} + b^{k_2⋅n−k_2+1} = 0\ (mod\ C)$$

所以只需要让$a^{k_1}和b^{k_2}模C后值相同即可，也就相当于模C后乘上了相同的系数，因而证明了对所有的n式子成立$

此时ab满足条件

---

我们只需要在验证n=1成立和n=2成立即可证明$a^{k_1},b^{k_2}模C后相同的关系$

所以n=1时我们发现$b^{k_2n-k+1} = b$，因此通过枚举a，我们可以通过计算$a^{k_1+b_1}$然后用C减去就得到了b，进而为了满足n=2的时候成立，我们只需计算$a^k_1,b^k_2$模C是否相等即可

code：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll q_pow(ll a,ll b,ll mod){
    ll ans = 1;
    while(b){
        if(b & 1)
            ans = ans * a % mod;
        a = a * a % mod;
        b >>= 1;
    }
    return ans;
}
int main(){
    int cas = 1;
    int c,k1,b1,k2;
    while(~scanf("%d%d%d%d",&c,&k1,&b1,&k2)){
        int flag = 0;
        printf("Case #%d:\n",cas++);
        for(ll a = 1; a < c; a++){
            ll b = c - q_pow(a,k1+b1,c);
            if(q_pow(a,k1,c) == q_pow(b,k2,c)){
                flag = 1;
                printf("%lld %lld\n",a,b);
            }
        }
        if(!flag) printf("-1\n");
    }
    return 0;
}