NOIP2013D1T2-火柴排队

问题描述

涵涵有两盒火柴，每盒装有 nn 根火柴，每根火柴都有一个高度。 现在将每盒中的火柴各自排成一列， 同一列火柴的高度互不相同， 两列火柴之间的距离定义为：$\sum (a_i-b_i)^2$其中 ai表示第一列火柴中第 i 个火柴的高度， bi表示第二列火柴中第 i 个火柴的高度。
每列火柴中相邻两根火柴的位置都可以交换，请你通过交换使得两列火柴之间的距离最小。请问得到这个最小的距离，最少需要交换多少次？如果这个数字太大，请输出这个最小交换次数对 99,999,997 取模的结果。
输入格式
共三行，第一行包含一个整数 n ，表示每盒中火柴的数目。
第二行有 n 个整数，每两个整数之间用一个空格隔开，表示第一列火柴的高度。
第三行有 n个整数，每两个整数之间用一个空格隔开，表示第二列火柴的高度。
输出格式
输出文件包含 T 行，每行一个整数代表答案。
样例输入

4
2 3 1 4
3 2 1 4

样例输出

3
-1

思路分析

我们需要最小化 $\sum_{i = 1}^{n}(a_{i} - b_{i})^{2}$，相当于要最小化$(a_{i} - b_{i})($，也就是说 a 序列第 k 大的元素必须和序列 b 中第 k大的元素（$k \in [1, n]$ ）的位置必须一样。
可以这样来理解：
A : 1 998 2 87 3 3
B : 1 6 2 5 3 4
那么我们我们可以把a,b 先离散化，那么问题将转化为 b 序列要交换几次可以令其等于 a ，但是我们还是没有一个具体成形的算法。
好了，这道题目的精华在于对于新建序列！
假设我们现在有离散化后的序列$a = \{4, 3, 1, 2\} ， b = \{1, 3, 2, 4\}$ 。
我们令 q[a[i]] = b[i]，相当于以 a[i] 为关键字对序列 b[i] 排序。
若序列 a 与序列 b 相等，那么此时 q[a[i]] 应该等于 a[i]a[i] 的，也就是q[i]=i 。
那么也就是说如果我们想让序列 a 与序列 b 相等，那么我们需要让 q 升序排列。
问题就变为，将原本乱的 q 序列升序排列的最少交换次数。

AC代码

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define MAXN 100000
using namespace std;
struct node
{
    int x,cnt;
}A[MAXN+10],B[MAXN+10];
int aa[MAXN+10];
int T[MAXN+10];
int ans=0;
bool cmp(node a,node b)
{
    return a.x<b.x;
}
void marge(int l,int mid,int r)  
{  
    int i=l,j=mid+1,k;  
    for(k=l;k<=r;k++)  
        if((i<=mid)&&((j>r)||(aa[i]<=aa[j])))  
            T[k]=aa[i++];  
        else{ 
            T[k]=aa[j++]; 
            ans+=mid-i+1; 
            ans%=99999997;
        }    
    for(i=l;i<=r;i++)  
        aa[i]=T[i];  
}  
void margef(int l,int r)  
{  
    if(l<r)  
    {  
        int mid=(l+r)/2;  
        margef(l,mid);  
        margef(mid+1,r);  
        marge(l,mid,r);  
    }  
}  
int main()
{
    int n,i;
    scanf("%d",&n);
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&A[i].x);
        A[i].cnt=i;
    }
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&B[i].x);
        B[i].cnt=i;
    }
    sort(A+1,A+1+n,cmp);
    sort(B+1,B+1+n,cmp);
    for(i=1;i<=n;i++)
        aa[A[i].cnt] = B[i].cnt;
         margef(1,n);
    printf("%d\n",ans%99999997);
}