「NOIP 2013」火柴排队题解

题目描述

涵涵有两盒火柴，每盒装有 nn 根火柴，每根火柴都有一个高度。现在将每盒中的火柴各自排成一列，同一列火柴的高度互不相同，两列火柴之间的距离定义为： $\sum (a_i-b_i)^2$ 。

其中 $a_i$ 表示第一列火柴中第 $i$ 个火柴的高度， $b_i$ 表示第二列火柴中第 $i$ 个火柴的高度。

每列火柴中相邻两根火柴的位置都可以交换，请你通过交换使得两列火柴之间的距离最小。请问得到这个最小的距离，最少需要交换多少次？如果这个数字太大，请输出这个最小交换次数对 $10^8-3$ 取模的结果。

输入格式

共三行，第一行包含一个整数 $n$ ，表示每盒中火柴的数目。
第二行有 $n$ 个整数，每两个整数之间用一个空格隔开，表示第一列火柴的高度。
第三行有 $n$ 个整数，每两个整数之间用一个空格隔开，表示第二列火柴的高度。

输出格式

一个整数，表示最少交换次数对 $10^8-3$ 取模的结果。

输入输出样例

输入

4
1 3 4 2
1 7 2 4

输出

数据范围

$1 \leq n \leq 10^5$ ， $0 \leq$ 火柴高度 $\leq 2^{31}。$

分析

好，一开始我们数学推一波。
欲求 $min(\sum (a_i - b_i)^2)(1 \leq i \leq n)$ 。
即求 $min(\sum a_i^2 + \sum b_i^2 - \sum 2a_ib_i)$ 。
因为 $\sum a_i^2$ 和 $\sum b_i^2$ 为定值。
即求 $max(\sum 2a_ib_i)$ 。
即求 $max(\sum a_ib_i)$ 。
令 $A_1 > A_2$ ， $B_1 > B_2$ 。
_{按照生活常识}易知
$A_1B_2 + A_2B_1 \leq A_1B_1 + A_2B_2$
好吧如果你问为什么，
~~我也不知道~~ 把 $A_2B_1$ 移到不等式右边， $A_1B_1$ 移到不等式左边，提个 $A_1$ ， $A_2$ 出来你总知道了吧。
说得通俗一点，就是要让最大乘最大，最小乘最小，才能得到整体最大。
做法就很明显了，将两数组排序，让相同下标的两数一一对应。输入时令 $a[i].num=i$ ， $b[i].num=i$ 。（离散化）我们需要在两数组从小到大排序后仍使 $a[i].num==b[i].num$ 。定义 $mp$ 数组 $mp[a[i].num] = b[i].num$ 。则需使 $mp[i]=i$ 。即求从小到大排序 $mp$ 数组的最小步数。即求此数组中逆序对的个数。（板子）
好的，分析完毕。

代码

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <climits>
#include <cstring>
#include <map>
using namespace std;
const int MAXN = 1e5 + 5, Mod = 99999997;
struct Node {
	int X, num;
};
Node a[MAXN], b[MAXN];
int mp[MAXN], c[MAXN];
int n, ans;
bool cmp(Node x, Node y) {
	return x.X < y.X;
}
void Sort(int l, int r) {//归并 
    if(l == r) return;
    int mid = (l + r) >> 1;
    Sort(l, mid);
    Sort(mid + 1, r);
    int flag = l, i = l, j = mid + 1;
    while(i <= mid && j <= r) {
        if(mp[i] <= mp[j]) {
            c[flag] = mp[i];
            flag ++; i ++;
        }
		else {
            c[flag] = mp[j];
            flag ++; j ++;
			ans = (ans + (mid - i + 1)) % Mod;
        }
    }
    while(i <= mid) {
        c[flag] = mp[i];
        i ++; flag ++;
    }
    while(j <= r) {
        c[flag] = mp[j];
        j ++; flag ++;
    }
    for(int i = l; i <= r; i ++) mp[i] = c[i];
}
int main() {
	scanf("%d", &n);
	for(int i = 1; i <= n; i ++) {
		scanf("%d", &a[i].X);
		a[i].num = i;//有离散化的思想 
	}
	for(int i = 1; i <= n; i ++) {
		scanf("%d", &b[i].X);
		b[i].num = i;
	}
	sort(a + 1, a + 1 + n, cmp);
	sort(b + 1, b + 1 + n, cmp);
	for(int i = 1; i <= n; i ++) {
		mp[a[i].num] = b[i].num;
	}
	Sort(1, n);
	printf("%d", ans);
	return 0;
}

谢谢观看，欢迎指出错误&问问题。