题解 TG2013 火柴排队

题目描述：

涵涵有两盒火柴，每盒装有n根火柴，每根火柴都有一个高度。 现在将每盒中的火柴各自排成一列， 同一列火柴的高度互不相同， 两列火柴之间的距离定义为： $\sum(a_i-b_i)^2$

其中 $a_i$表示第一列火柴中第 $i$个火柴的高度， $b_i$表示第二列火柴中第 $i$个火柴的高度。

每列火柴中相邻两根火柴的位置都可以交换，请你通过交换使得两列火柴之间的距离最小。请问得到这个最小的距离，最少需要交换多少次？如果这个数字太大，请输出这个最小交换次数对 $99,999,997$取模的结果。

输入：

共三行，第一行包含一个整数 $n$，表示每盒中火柴的数目。

第二行有 $n$个整数，每两个整数之间用一个空格隔开，表示第一列火柴的高度。

第三行有 $n$个整数，每两个整数之间用一个空格隔开，表示第二列火柴的高度。

输出：

一个整数，表示最少交换次数对 $99,999,997$取模的结果。

思路：

引理1.1：

令：
$t\le \sum_{i=1}^n(a_i-b_i)^2$
在 $a_i,b_i\in \mathbb R$时恒成立，则必有：
$|a_i-b_i|$
的值最小。

引理1.2：

当且仅当数列 $a,b$的第 $k$小一一对应满足 $|a_i-b_i|$最小

令数列 $c$, $d$分别为 $a,\ b$的离散化序列，则必有：
$c_i=d_i$

引理1.3：

令 $q[c_i]=d_i$，当且仅当 $c_i=d_i$时， $q$数组升序排列。

充分证明：
$∵c_i=d_i$
$∴q[c_i]=c_i$
$\text{又}∵c_i\in[1,n]$
$∴q[i]=i$

于是我们可以预处理出 $a,\ b$的离散化序列，用树状数组求逆序对即可。

代码：

#include <cstdio>
#define R register
const int N = 1e+6 + 1;
const int Mod = 99999997;
int n, a[N], b[N], c[N], d[N], q[N];
int Reverse, tree[N];

inline void swap(int &x, int &y) {
	R int t = x; x = y, y = t;
}
inline int read() {
	R int x = 0, f = 1; char ch = getchar();
	while(ch < '0' || ch > '9') {if(ch == '-') f *= -1; ch = getchar();}
	while(ch >= '0' && ch <= '9') x = (x << 1) + (x << 3) + ch - '0', ch = getchar();
	return x * f;
}
inline void qsort(int l, int r, int *arr, int *rank) {
	int i = l, j = r, mid = arr[l + r >> 1];
	do {
		while(arr[i] < mid) i++;
		while(arr[j] > mid) j--;
		if(i <= j) {
			swap(arr[i], arr[j]);
			swap(rank[i], rank[j]);
			i++, j--;
		}
	}while(i <= j);
	if(i < r) qsort(i, r, arr, rank);
	if(j > l) qsort(l, j, arr, rank);
}
inline int lowbit(int x) {
	return x & (-x);
}
inline void update(int x, int k) {
	for(R int i = x; i <= n; i += lowbit(i))
		tree[i] += k;
}
inline int query(int x) {
	int sum = 0;
	for(R int i = x; i; i -= lowbit(i))
		sum += tree[i];
	return sum;
}
int main()
{
	n = read();
	for(R int i = 1; i <= n; i++) a[i] = read(), c[i] = i;
	for(R int i = 1; i <= n; i++) b[i] = read(), d[i] = i;
	qsort(1, n, a, c),
	qsort(1, n, b, d);
	for(R int i = 1; i <= n; i++) q[c[i]] = d[i];
	for(R int i = 1; i <= n; i++) {
		update(q[i], 1),
		Reverse += i - query(q[i]);
		if(Reverse >= Mod) Reverse -= Mod;
	}
	printf("%d", Reverse);
	return 0;
}