- 描述
-
涵涵有两盒火柴，每盒装有n 根火柴，每根火柴都有一个高度。 现在将每盒中的火柴各自排成一列， 同一列火柴的高度互不相同， 两列火柴之间的距离定义为： ∑(ai-bi)^2其中 ai 表示第一列火柴中第 i 个火柴的高度，bi 表示第二列火柴中第 i 个火柴的高度。每列火柴中相邻两根火柴的位置都可以交换，请你通过交换使得两列火柴之间的距离最小。请问得到这个最小的距离，最少需要交换多少次？如果这个数字太大，请输出这个最小交换次数对 99,999,997 取模的结果。
- 输入
-
共三行，第一行包含一个整数 n，表示每盒中火柴的数目。
第二行有 n 个整数，每两个整数之间用一个空格隔开，表示第一列火柴的高度。
第三行有 n 个整数，每两个整数之间用一个空格隔开，表示第二列火柴的高度。 - 输出
- 输出共一行，包含一个整数，表示最少交换次数对 99,999,997 取模的结果。
- 样例输入
-
输入输出样例1 4 2 3 1 4 3 2 1 4 输入输出样例2 4 1 3 4 2 1 7 2 4
- 样例输出
-
输入输出样例1 1 输入输出样例2 2
- 提示
-
输入输出样例说明1：
最小距离是 0，最少需要交换 1 次，比如：交换第 1 列的前 2 根火柴或者交换第 2 列的前 2 根火柴。
输入输出样例说明2：
最小距离是 10，最少需要交换 2 次，比如：交换第 1 列的中间 2 根火柴的位置，再交换第 2 列中后 2 根火柴的位置。
数据范围：
对于 10%的数据， 1 ≤ n ≤ 10；
对于 30%的数据，1 ≤ n ≤ 100；
对于 60%的数据，1 ≤ n ≤ 1,000；
对于 100%的数据，1 ≤ n ≤ 100,000，0 ≤火柴高度≤ maxlongint
- 解题思路
首先我们来分析一下这道题目的思路。假如我现在有两列火柴，长度分别为1,2,3,4,5和6,7,8,9,10,我们如何使∑(ai-bi)^2，也就是每一对火柴长度之差|ai-bi|最小呢？是不是两列中长度第一小的放在一起（1,5），长度第二小的放在一起（2,3），等等。
所以我想到了可以使用权值来表示火柴的长度：例如一列火柴：6,8,2,7,3，它们的权值大小分别为3,5,1,4,2，使用权值来表示这根火柴在这列火柴中的长度占第几位。选定一列火柴权值不动，移动另一列火柴的权值，最终把两列火柴权值相同的火柴成对，这样就能够使每一对火柴长度之差|ai-bi|最小，也就是∑(ai-bi)^2最小。
好，现在已知最小的∑(ai-bi)^2的火柴队列是什么样的，但是题目要求计算出最少交换次数。其实呀，这里说的最少交换次数就是逆序对数（这个自己要好好地思考一下，是不是有多少组逆序对，我们就要交换多少次，使它成为一个有序队列呢？）但是这里的逆序对跟我们平常所学习的有所不同，这里我们以固定的火柴列的权值为新的从小到大的排序规则，按照这个新的排序规则看看另一列中有多少组逆序对。
参考程序
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,x,y,flag,a1[100005],b1[100005];
struct p//定义一个结构体
{
int c;//火柴长度
int h;//火柴长度权值
int chu;//火柴的初始位置
}a[100005],b[100005];
long ans=0;//全局变量逆序对数（即交换次数，要定义成long，要不然最后会爆）
int cmp(p a,p b)
{
if(a.c<b.c)return 1;//按照火柴的长度从小到大排序
else return 0;
}
int cmp1(p a,p b)
{
if(a.chu<b.chu)return 1;//按照火柴的初始位置进行排序
else return 0;
}
int f(int e,int f)//按照b中的顺序比较
{
if(b1[a1[e]]<=b1[a1[f]])return true;
else return false;
}
int msort(int a[],int s,int t)//计算逆序对个数
{
if(s==t) return 0; //如果只有一个数字则返回，无须排序
int mid=(s+t)/2;
msort(a,s,mid); //分解左序列
msort(a,mid+1,t); //分解右序列
int i=s, j=mid+1,k=s,r[t]; //接下来合并
while(i<=mid && j<=t)
{
if(f(i,j))
{
r[k]=a[i]; k++; i++;
}
else
{
r[k]=a[j]; k++; j++;
ans+=mid-i+1; //统计产生逆序对的数量
}
}
while(i<=mid) //复制左边子序列剩余
{
r[k]=a[i]; k++; i++;
}
while(j<=t) //复制右边子序列剩余
{
r[k]=a[j]; k++; j++;
}
for(int i=s; i<=t; i++) a[i]=r[i];
return ans;
}
int main()
{
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
cin>>a[i].c;//输入两盒火柴每一列的长度
a[i].chu=i;
}
for(int i=1;i<=n;i++)
{
cin>>b[i].c;//输入两盒火柴每一列的长度
b[i].chu=i;
}
sort(a+1,a+1+n,cmp);//按照火柴的长度从小到大排序
sort(b+1,b+1+n,cmp);
for(int i=1;i<=n;i++)//给火柴赋权值
a[i].h=b[i].h=i;
sort(a+1,a+1+n,cmp1);//恢复火柴的初始长度
sort(b+1,b+1+n,cmp1);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
a1[i]=a[i].h;//a1中表示相应火柴的权值
b1[b[i].h]=i;//b1中表示权值为b[i].h的火柴的位置
}
msort(a1,1,n);
cout<<ans%99999997;
return 0;
}