求排列的逆序数(归并排序)

一、题目描述

描述

在Internet上的搜索引擎经常需要对信息进行比较，比如可以通过某个人对一些事物的排名来估计他（或她）对各种不同信息的兴趣，从而实现个性化的服务。

对于不同的排名结果可以用逆序来评价它们之间的差异。考虑1,2,…,n的排列i1，i2，…，in，如果其中存在j,k，满足 j < k 且 ij > ik，那么就称(ij,ik)是这个排列的一个逆序。

一个排列含有逆序的个数称为这个排列的逆序数。例如排列 263451 含有8个逆序(2,1),(6,3),(6,4),(6,5),(6,1),(3,1),(4,1),(5,1)，因此该排列的逆序数就是8。显然，由1,2,…,n 构成的所有n!个排列中，最小的逆序数是0，对应的排列就是1,2,…,n；最大的逆序数是n(n-1)/2，对应的排列就是n,(n-1),…,2,1。逆序数越大的排列与原始排列的差异度就越大。

现给定1,2,…,n的一个排列，求它的逆序数。

输入

第一行是一个整数n，表示该排列有n个数（n <= 100000)。

第二行是n个不同的正整数，之间以空格隔开，表示该排列。

输出

输出该排列的逆序数。

样例输入

6 2 6 3 4 5 1

样例输出

归并排序：O(nlogn)

1.将数组分成两半，分别求出左半边的逆序数和右半边的逆序数

2.再算有多少逆序是由左半边取一个数和右半边取一个数构成

实际上就是归并排序的改造，即对此排列进行归并排序，边排序边计算它的逆序数

求逆序数的关键：

设左半边和右半边都是从小到大有序的（此时进行归并），从左到右依次扫描，比较两个各取一个数的大小，如果左边第一个数比右边第一个数大，那么左边排列的其他数字也可以和右边第一个数构成逆序数，以此类推。

Code:

#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll sum=0;
void mergesort(int *arr,int first,int last,int *temp);
void mergecount(int *arr,int first,int mid,int last,int *temp);

void mergesort(int *arr,int first,int last,int *temp)
{
    if(first < last)
    {
        int mid=(last-first)/2+first;
        mergesort(arr,first,mid,temp);
        mergesort(arr,mid+1,last,temp);
        mergecount(arr,first,mid,last,temp);
    }
}

void mergecount(int *arr,int first,int mid,int last,int *temp)
{
    int index=0;
    int s1=first,s2=mid+1;
    while(s1<=mid && s2<=last)
    {
        if(arr[s1]<=arr[s2])
        {
            temp[index++]=arr[s1++];
        }
        else                    //左边的数比右边大
        {
            temp[index++]=arr[s2++];    
            sum+=mid-s1+1;          //左边的数比右边大，之间的数都比左边小，均可构成逆序数
        }
    }
    while(s1<=mid)
    {
        temp[index++]=arr[s1++];
    }
    while(s2<=last)
    {
        temp[index++]=arr[s2++];
    }
    for(int i=0;i<index;i++)
    {
        arr[first+i]=temp[i];
    }
}

int main()
{
    int a[100005],b[100005];
    int n;
    cin>>n;
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        cin>>a[i];
    }
    mergesort(a,0,n-1,b);
    cout<<sum;
    return 0;
}