初次学习st表，RMQ算法

这两篇博客都介绍的较好，摘抄记录一下
转载：https://blog.csdn.net/LinzhiQQQ/article/details/81477820
https://blog.csdn.net/qq1169091731/article/details/51981497

1、算法简介：

RMQ算法求解的是区间最值问题，比如求区间最大值

例如一个数列 9 5 3 4 1 8 7 2 9 5 ，多次询问，每次询问任意一个区间的最大值

ST表: 一个通过动态规划预处理生成的表，时间复杂度为 O(nlogn)，但是查询时间为 O(1)

2、算法实现：

设num[i]是要求区间最值的数列，st [i, j]表示从第i个数起连续2^j个数中的最大值。（DP的状态）

首先 st[ i ][ j ] 表示从下标 i 开始，长度为 2^j 的区间里的最大值

那么对于一个区间 [a,b] ，它的最大值 = max( [ a, (a + b) / 2 ] ,[ (a + b) / 2 + 1,b ] ) ，也就是从区间中间分开两个小区间

其实也有点类似于线段树的思想，一直分下去就会分到长度为1的区间，而长度为1的区间的最值是可以直接确定的

所以 st[i] [0] = num[ i ]

所以这个动态规划的状态就是从某个区间的两个子区间得来的

现在 st[ i ][ j ] 表示的是区间左端点为 i ，长度为 2^j ,所以表示的区间 = [ i , i + 2 ^ j - 1 ]

那么从中间分开的话，它的两个子区间分别是 [ i , i + 2 ^ (j - 1) - 1] 和 [ i + 2 ^ (j - 1) , i + 2 ^ j - 1 ]

用 st 表来表示这两个子区间的话就是 st[ i ][ j - 1 ] 和 st [ i + 2^(j - 1) ][ j - 1 ];

所以状态转移方程： st[ i ][ j ] = max( st[ i ][ j - 1 ] , st[ i + 2^(j - 1)][ j - 1 ] )

void ST(int n) {
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        st[i][0] = num[i];
    for (int j = 1; (1 << j) <= n; j++) {
        for (int i = 1; i + (1 << j) - 1 <= n; i++) {
            st[i][j] = max(st[i][j - 1], st[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);
        }
    }
}

这里我们需要注意的是循环的顺序，我们发现外层是j，内层所i，这是为什么呢？可以是i在外，j在内吗？

答案是不可以。因为我们需要理解这个状态转移方程的意义。

状态转移方程的含义是：先更新所有长度为st [ i,0 ] 即1个元素，然后通过2个1个元素的最值，获得所有长度为dp [i,1]即2个元素的最值，然后再通过2个2个元素的最值，获得所有长度为st [i,2]即4个元素的最值，以此类推更新所有长度的最值。而如果是i在外，j在内的话，我们更新的顺序就是st [1,0],st [1,1],st [1,2],st [1,3],表示更新从1开始1个元素，2个元素，4个元素，8个元素(num[0],num[1],….num[7]）的最值，这里

3、实现查询

那么做完了预处理，得到了ST表之后，如何进行查询呢？

例如现在要查询 [ a , b ] 这个区间的最大值

我们可以确定起点一定是 a ，所以就是要找到 st [ a ] [ ? ] ，但是这里有一个问题，我们查询的长度不一定是 2 的次方数

没有关系，我们只需要找到两个区间 x 和 y，并且满足 x区间的起点 = a 且终点 <= b，y区间的终点 = b 且起点 >= a

那么区间 [ a , b ] 的最大值 = max( x , y )

所以我们要找到一个 k 使得 (1 << k) <= (b - a + 1)

那么我们要找的两个区间就是 st [ a ][ k ] 和 st [ b - (1 << k) + 1 ][ k ]

int RMQ(int l,int r)  //求区间 l 到 r 之间的最值
{
    //2^k <= (r - l + 1);k <= log2(r - l + 1) = (log(r - l + 1) / log(2));
    int k=(int)(log(double(r-l+1))/log(2.0));
    return max(st[l][k],st[r-(1<<k)+1][k]);

}