引入：
ST算法（Sparse Table），以求最大值为例，设 f [ i , j ] f[i,j] f[i,j]表示 [ i , i + 2 j − 1 ] [i,i+2^j-1] [i,i+2j−1]这个区间内的最大值，那么在询问到 [ a , b ] [a,b] [a,b]区间的最大值时答案就是 m a x ( f [ a , k ] , f [ b − 2 k + 1 , k ] ) ， max(f[a,k], f[b-2^k+1,k])， max(f[a,k],f[b−2k+1,k])，其中 k k k是满足 2 k < = b − a + 1 2^k<=b-a+1 2k<=b−a+1(即长度)的最大的 k , k, k,即 k = [ l n ( b − a + 1 ) / l n ( 2 ) ] k=[ln(b-a+1)/ln(2)] k=[ln(b−a+1)/ln(2)]。
具体关于 f [ i ] [ j ] f[i][j] f[i][j]的推导，看这个文章，Pecco
ST 表是用于解决 可重复贡献问题 的数据结构。不支持修改。
可重复贡献问题 是指对于运算 o p t opt opt ，满足 x o p t x = x xoptx=x xoptx=x ，则对应的区间询问就是一个可重复贡献问题。例如，最大值有 m a x ( x , x ) = x max(x,x)=x max(x,x)=x ，gcd 有 g c d ( x , x ) = x gcd(x,x)=x gcd(x,x)=x，所以 RMQ 和区间 GCD 就是一个可重复贡献问题。像区间和就不具有这个性质，如果求区间和的时候采用的预处理区间重叠了，则会导致重叠部分被计算两次，这是我们所不愿意看到的。另外， 还必须满足结合律才能使用 ST 表求解。
动态规划预处理
for (int i = 1; i <= 21; ++i)
for (int j = 1; j + (1 << i) - 1 <= n; ++j)
{
Min[j][i] = min(Min[j][i - 1], Min[j + (1 << (i - 1))][i - 1]);
Max[j][i] = max(Max[j][i - 1], Max[j + (1 << (i - 1))][i - 1]);
}
l o g log log的预处理：
for (int i = 2; i <= n; ++i)
Log2[i] = Log2[i / 2] + 1;
预处理函数：
void init(){
for (int i = 2; i <= n; ++i)
Log2[i] = Log2[i / 2] + 1;
for (int i = 1; i <= 21; ++i)
for (int j = 1; j + (1 << i) - 1 <= n; ++j)
{
Min[j][i] = min(Min[j][i - 1], Min[j + (1 << (i - 1))][i - 1]);
Max[j][i] = max(Max[j][i - 1], Max[j + (1 << (i - 1))][i - 1]);
}
}
区间查询最大值，最小值
int find(int l,int r){
int s = Log2[r - l + 1];
int ma = max(Max[l][s], Max[r - (1 << s) + 1][s]);
//int mi = min(Min[l][s], Min[r - (1 << s) + 1][s]);
return ma;
//return mi;
}
完整：
int n,m;
int Log2[N], Min[N][21], Max[N][21];
void init(){
for (int i = 2; i <= n; ++i)
Log2[i] = Log2[i / 2] + 1;
for (int i = 1; i <= 21; ++i)
for (int j = 1; j + (1 << i) - 1 <= n; ++j)
{
Min[j][i] = min(Min[j][i - 1], Min[j + (1 << (i - 1))][i - 1]);
Max[j][i] = max(Max[j][i - 1], Max[j + (1 << (i - 1))][i - 1]);
}
}
int find(int l,int r){
int s = Log2[r - l + 1];
int ma = max(Max[l][s], Max[r - (1 << s) + 1][s]);//最大
int mi = min(Min[l][s], Min[r - (1 << s) + 1][s]);//最小
//return ma;
return mi;
}
输入：
for (int i = 1; i <= n; ++i)
{
int x = read();
Min[i][0] = x;
Max[i][0] = x;
}
King of Range
给你一个序列 a 1 a n a_1~a_n a1 an,m组查询，每一组查询问有多少对 ( i , j ) (i,j) (i,j), a i a_{i} ai到 a j a_{j} aj最大值减最小值大于K。
RMQ+双指针
代码：
#include <bits/stdc++.h>
#define MAXN 200000
#define bug(x) cerr<<#x<<" : "<<x<<endl;
typedef long long ll;
using namespace std;
int read()
{
int ans = 0;
char c = getchar();
while (!isdigit(c))
c = getchar();
while (isdigit(c))
{
ans = ans * 10 + c - '0';
c = getchar();
}
return ans;
}
int Log2[MAXN], Min[MAXN][21], Max[MAXN][21];
bool chk(int l,int r,int k){
int s = Log2[r - l + 1];
int ma = max(Max[l][s], Max[r - (1 << s) + 1][s]);
int mi = min(Min[l][s], Min[r - (1 << s) + 1][s]);
if(ma-mi>k) return true;
return false;
}
int main()
{
//freopen("in.txt", "r", stdin);
//freopen("test.txt", "w", stdout);
int n = read(), m = read();
for (int i = 1; i <= n; ++i)
{
int x = read();
Min[i][0] = x;
Max[i][0] = x;
}
for (int i = 2; i <= n; ++i)
Log2[i] = Log2[i / 2] + 1;
for (int i = 1; i <= 21; ++i)
for (int j = 1; j + (1 << i) - 1 <= n; ++j)
{
Min[j][i] = min(Min[j][i - 1], Min[j + (1 << (i - 1))][i - 1]);
Max[j][i] = max(Max[j][i - 1], Max[j + (1 << (i - 1))][i - 1]);
}
while(m--){
int k=read();
ll ans=0;
for(int i=1,j=1;i<=n;i++){
while(!chk(i,j,k)&&j<=n&&i<=j){
j++;
}
if(j<=n) ans=ans+n-j+1;
}
cout<<ans<<endl;
}
return 0;
}
洛谷P2251
给你一个长度为n序列，求从第m个数开始，每个数的前m个数最小的数是什么？
数据范围： m < n , n < 1000000 m<n,n<1000000 m<n,n<1000000
ST表板子,代码：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e6+7;
int n,m;
int Log2[N], Min[N][21], Max[N][21];
void init(){
for (int i = 2; i <= n; ++i)
Log2[i] = Log2[i / 2] + 1;
for (int i = 1; i <= 21; ++i)
for (int j = 1; j + (1 << i) - 1 <= n; ++j)
{
Min[j][i] = min(Min[j][i - 1], Min[j + (1 << (i - 1))][i - 1]);
Max[j][i] = max(Max[j][i - 1], Max[j + (1 << (i - 1))][i - 1]);
}
}
int find(int l,int r){
int s = Log2[r - l + 1];
int ma = max(Max[l][s], Max[r - (1 << s) + 1][s]);//最大
int mi = min(Min[l][s], Min[r - (1 << s) + 1][s]);//最小
//return ma;
return mi;
}
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
for (int i = 1; i <= n; ++i)
{
int x ;
scanf("%d",&x);
Min[i][0] = x;
Max[i][0] = x;
}
init();
for(int i=m;i<=n;i++){
cout<<find(i-m+1,i)<<endl;
}
}