深度学习与计算机视觉（二）线性SVM与Softmax分类器

- 2、线性SVM与Softmax分类器

2、线性SVM与Softmax分类器

鉴于kNN的分类弊端，本节介绍一种新的分类器，其中由两个很重要的概念：

得分函数：将原始数据映射到每个类的打分的函数
损失函数：用于量化模型预测结果和实际结果之间吻合度的函数

得到损失函数之后，我们就将问题转化为一个最优化的问题，目标是得到让我们的损失函数取值最小的一组参数。

2.1 得分函数（score function）

首先我们定义一个有原始的图片像素值映射到最后类目得分的函数，也就是这里提到的得分函数。

假设我们的训练数据为 $x_ i ∈R D$ ，对应的标签 $y_ i$ ，这里 $i=1…N$
表示 $N$ 个样本， $y _i ∈1…K$ 表示K类图片。

比如CIFAR-10数据集中N=50000，而D=32x32x3=3072像素，K=10，因为这时候我们有10个不同的类别(狗/猫/车…)，我们实际上要定义一个将原始像素映射到得分上函数 $f:R ^D ↦R^ K$

2.1.1 线性分类器

简单的线性映射： $f(x _i ,W,b)=W x _i+b$

加到图像的像素都拉长为[D x 1]的列向量，两个参数W为[K x D]，b为[K x 1]，在CIFAR-10中，每张图片平展开得到一个[3072 x 1]的向量，那W就应该是一个[10 x 3072]的矩阵，b为[10 x 1]的向量。

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说明几个点：

我们知道一次矩阵运算，我们就可以借助W把原始数据映射为10个类别的得分。
其实我们的输入(x i ,y i ) 其实是固定的，我们现在要做的事情是，我们要调整W, b使得我们的得分结果和实际的类目结果最为吻合。
我们可以想象到，这样一种分类解决方案的优势是，一旦我们找到合适的参数，那么我们最后的模型可以简化到只有保留W, b即可，而所有原始的训练数据我们都可以不管了。
识别阶段，我们需要做的事情仅仅是一次矩阵乘法和一次加法，这个计算量相对之前…不要小太多好么…

2.1.2 理解线性分类器

我们用一个实际的例子来表示这个得分映射的过程，大概就是下图这个样子：
这里写图片描述

原始像素点向量x i 经过W和b映射为对应结果类别的得分f(x i ,W,b)=Wx i +b 。不过上面这组参数其实给的是不太恰当的，因为我们看到在这组参数下，图片属于狗狗的得分最高 -_-||

1）划分的第一种理解

图像被展平之后，向量维度很高，高维空间比较难以想象，简化，假设将图像的像素输入，看出可以压缩到二维空间之中的点，那我们想想，分类器其实就是在做下图所示的事情：

这里写图片描述

W中的每一列对应类别中的类，而当我们改变W中的值的时候，图上的线的方向会跟着改变。

b是一个偏移量，它表示当我们直线的方向确定之后，能够更适当的平移到合适的位置，如果没有b的话，所有的直线都会经过原点，这种强制条件下显然不能保证很好的平面类别分割。

2）划分的第二种理解

W的每一行可以看做是其中一个类别的模板，而我们输入图像相对这个类别的得分，实际上是像素点和模板匹配度（通过内积运算获得），而类目识别实际上就是在匹配图像和所有类别的模板中，找到匹配度最高的那个。

感觉和KNN有些类似，不过我们这里不再像KNN那样比对所有的图像，而是比对类别的模板，这样对比次数只和类目数k有关系，所以计算量会小很多，且不再使用L1 / L2距离，而是使用内积进行计算。

这里展示了CIFAR-10上学习到的模板的样子：

这里写图片描述

3）偏移量的处理

线性分类器： $f(x _i ,W,b)=W x _i+b$

公式中有W和b两个参数，我们知道调节两个参数比调节一个参数要麻烦很多，所以我们将其组合起来，放到一个参数中去。

我们现在要做的运算是矩阵乘法再加偏移量，最常用的合并方法就是将b加入W中：

这里写图片描述

我们给输入的像素矩阵加上一个1，从而把b拼接到W里变成一个变量。依旧拿CIFAR-10举例，原本是[3072 x 1]的像素向量，我们添上最后那个1变成[3073 x 1]的向量，而[W]变成[W b]。

4）关于数据的预处理

实际应用中，我们很多时候并不是把原始的像素矩阵作为输入，而是会预先做一些处理，比如说，有一个很重要的处理叫做『去均值』，他做的事情是对于训练集，我们求得所有图片像素矩阵的均值，作为中心，然后输入的图片先减掉这个均值，再做后续的操作。有时候我们甚至要对图片的幅度归一化/scaling。去均值是一个非常重要的步骤，原因我们在后续的梯度下降里会提到。

2.2 损失函数

通过参数W和b可以完成由像素到类目得分的过程，同时，我们知道训练数据 $(x_ i ,y_ i )$ 是给定的，可以通过调整参数来使得映射的结果和实际的类别吻合。

上面预测猫、狗的例子中，预测的结果和实际结果相差很大，于是我们要想办法将这个偏差表示出来。

能够完成偏差表示的工具叫做“损失函数”，也就是当偏差很大的时候，损失函数值会很大，我们训练的目标就转化为最小化损失函数。

2.2.1 多类别支持向量机损失（Multiclass SVM loss）

如果要用一句精简的话来描述它，就是它(SVM)希望正确的类别结果获得的得分比不正确的类别，至少要高上一个固定的大小Δ 。

这里写图片描述

2.2.2 正则化

把W参数的这种不确定性去除掉，这就是我们要提到的正则化，我们需要在原来的损失函数上再加上一项正则化项(regularization penalty R(W) )，最常见的正则化项是 L2 范数，它会对幅度很大的特征权重给很高的惩罚：

根据公式可以看到，这个表达式R(W)把所有W的元素的平方项求和了。而且它和数据本身无关，只和特征权重有关系。

我们把两部分组(数据损失/data loss和正则化损失/regularization loss)在一起，得到完整的多类别SVM损失权重，如下：

也可以展开，得到更具体的完整形式：

这里写图片描述

其中，N是训练样本数，我们给正则化一个参数 $\lambda$ ，但是这个参数的设定只有通过实验确定，也就是通过交叉验证确定。

假定我们的输入图片像素矩阵是 $x=[1,1,1,1]$ ，而现在我们有两组不同的W权重参数中对应的向量 $w_ 1 =[1,0,0,0]$ ， $w _2 =[0.25,0.25,0.25,0.25]$ 。那我们很容易知道 $w ^T _1 x=w^ T_ 2 x=1$ ，所以不加正则项的时候，这俩得到的结果是完全一样的，也就意味着——它们是等价的。但是加了正则项之后，我们发现 $w _2$ 总体的损失函数结果更小(因为4*0.25^2<1)，于是我们的系统会选择 $w _2$ ，这也就意味着系统更『喜欢』权重分布均匀的参数，而不是某些特征权重明显高于其他权重(占据绝对主导作用)的参数。

之后的系列里会提到，这样一个平滑的操作，实际上也会提高系统的泛化能力，让其具备更高的通用性，而不至于在训练集上过拟合。

另外，我们在讨论过拟合的这个部分的时候，并没有提到b这个参数，这是因为它并不具备像W一样的控制输入特征的某个维度影响力的能力。还需要说一下的是，因为正则项的引入，训练集上的准确度是会有一定程度的下降的，我们永远也不可能让损失达到零了(因为这意味着正则化项为0，也就是W=0)。

2.3 实际中的考虑点

2.3.1 设定Delta

我们在计算Multi SVM loss的时候，Δ是我们提前设定的一个参数。这个值咋设定？莫不是…也需要交叉验证…？其实基本上大部分的场合下我们设Δ=1.0 都是一个安全的设定。我们看公式中的参数Δ 和λ似乎是两个截然不同的参数，实际上他俩做的事情比较类似，都是尽量让模型贴近标准预测结果的时候，在数据损失/data loss和正则化损失/regularization loss之间做一个交换和平衡。

在损失函数计算公式里，可以看出，权重W的幅度对类别得分有最直接的影响，我们减小W，最后的得分就会减少；我们增大W，最后的得分就增大。从这个角度看，Δ 这个参数的设定(Δ=1 或者Δ=100 )，其实无法限定W的伸缩。而真正可以做到这点的是正则化项，λ 的大小，实际上控制着权重可以增长和膨胀的空间。

2.3.2 关于二元（Binary）支持向量机

二元支持向量机的公式如下：

这里写图片描述

我们可以理解为类别 $y i ∈−1,1$ ，它是我们的多类别识别的一个特殊情况，而这里的 $C$ 和 $λ$ 是一样的作用，只不过他们的大小对结果的影响是相反的，也就是 $C∝1/λ$ 。

2.3.3 关于非线性SVM

如果对机器学习有了解，你可能会了解很多其他关于SVM的术语：kernel，dual，SMO算法等等。在这个系列里面我们只讨论最基本的线性形式。当然，其实从本质上来说，这些方法都是类似的。

2.4 Softmax分类器

两种最常见的分类器，包括SVM和Softmax，它们有着截然不同的损失函数，softmax分类器就是逻辑回归二分类器泛化到多类的情形，不像SVM直接给类目打分 $f(x_ i ,W)$ 并作为输出，softmax分类器从新的角度做了不一样的处理，即需要将得分映射到概率域，不使用hinge loss了，而是用交叉熵损失函数：

这里写图片描述

其中，使用 $f_i$ 来表示分向量 $f$ 的第j个元素值，总体的损失也是 $L_i$ 遍历训练集之后的均值，再加上正则化项 $R(W)$ ，而函数 $f _j (z)=\frac{e^z j }{ ∑_ k e^ {z _k} }$ 被称为softmax函数，其输入值是一个实数向量 $z$ ，然后在指数域做了一个归一化，保证其和为1，映射为概率。

2.4.1 从信息论角度理解

这里写图片描述

2.4.2 从概率角度理解

这里写图片描述

2.4.3 实际工程的注意点：数据稳定性

这里写图片描述

f = np.array([123, 456, 789]) # 3个类别的预测示例
p = np.exp(f) / np.sum(np.exp(f)) # 直接运算，数值稳定性不太好

# 我们先对数据做一个平移，所以输入的最大值为0:
f -= np.max(f) # f 变成 [-666, -333, 0]
p = np.exp(f) / np.sum(np.exp(f)) # 结果正确，同时解决数值不稳定问题

2.4.4 softmax名字的说明

准确地说，SVM分类器使用hinge loss(有时候也叫max-margin loss)。而Softmax分类器使用交叉熵损失/cross-entropy loss。Softmax分类器从softmax函数(恩，其实做的事情就是把一列原始的类别得分归一化到一列和为1的正数表示概率)得到，softmax函数使得交叉熵损失可以用起来。而实际上，我们并没有softmax loss这个概念，因为softmax实质上就是一个函数，有时候我们图方便，就随口称呼softmax loss。

2.5 SVM与Softmax

2.5.1 损失函数

下图是表示从输入端到分类结果的过程中，两者分别做了什么工作：

这里写图片描述

区别就是拿到原始像素数据映射得到的得分之后的处理，而正因为处理方式不同，我们定义不同的损失函数，有不同的优化方法。

2.5.2 分类器的本质

SVM下，我们能完成类别的判定，但是实际上我们得到的类别得分，大小顺序表示着所属类别的排序，但是得分的绝对值大小并没有特别明显的物理含义。
Softmax分类器中，结果的绝对值大小表征属于该类别的概率。

举个例子说，SVM可能拿到对应猫/狗/船的得分[12.5, 0.6, -23.0]，同一个问题，Softmax分类器拿到[0.9, 0.09, 0.01]。这样在SVM结果下我们只知道『猫』是正确答案，而在Softmax分类器的结果中，我们可以知道属于每个类别的概率。

但是，Softmax中拿到的概率，其实和正则化参数λ 有很大的关系，因为λ 实际上在控制着W的伸缩程度，所以也控制着最后得分的scale，这会直接影响最后概率向量中概率的『分散度』，比如说某个λ下，我们得到的得分和概率可能如下：

[1, - 2, 0] \to [e^{1}, e^{- 2}, e^{0}] = [2.71, 0.14, 1] \to [0.7, 0.04, 0.26]

$[1,−2,0]→[e ^1 ,e^{ −2} ,e ^0 ]=[2.71,0.14,1]→[0.7,0.04,0.26]$

而我们加大λ ，提高其约束能力后，很可能得分变为原来的一半大小，这时候如下：

[0.5, - 1, 0] \to [e^{0.5}, e^{- 1}, e^{0}] = [1.65, 0.37, 1] \to [0.55, 0.12, 0.33]

$[0.5,−1,0]→[e ^{0.5} ,e^{ −1} ,e ^0 ]=[1.65,0.37,1]→[0.55,0.12,0.33]$

因为λ的不同，使得最后得到的结果概率分散度有很大的差别。在上面的结果中，猫有着统治性的概率大小，而在下面的结果中，它和船只的概率差距被缩小。

2.5.3 实际应用中的SVM与Softmax分类器

实际应用中，两类分类器的表现是相当的。当然，每个人都有自己的喜好和倾向性，习惯用某类分类器。

一定要对比一下的话：

SVM其实并不在乎每个类别得到的绝对得分大小，举个例子说，我们现在对三个类别，算得的得分是[10, -2, 3]，实际第一类是正确结果，而设定Δ=1 ，那么10-3=7已经比1要大很多了，那对SVM而言，它觉得这已经是一个很标准的答案了，完全满足要求了，不需要再做其他事情了，结果是 [10, -100, -100] 或者 [10, 9, 9]，它都是满意的。

然而对于Softmax而言，不是这样的， [10, -100, -100] 和 [10, 9, 9]映射到概率域，计算得到的交叉熵损失是有很大差别的。所以Softmax是一个永远不会满足的分类器，在每个得分计算到的概率基础上，它总是觉得可以让概率分布更接近标准结果一些，交叉熵损失更小一些。

有兴趣的话，W与得分预测结果demo是一个可以手动调整和观察二维数据上的分类问题，随W变化结果变化的demo，可以动手调调看看。
这里写图片描述