51nod动态规划教程

51nod动态规划教程
最后，我们来提供输入输出数据，由你来写一段程序，实现这个算法，只有写出了正确的程序，才能继续后面的课程。
输入
第1行：字符串A
第2行：字符串B
(A,B的长度 <= 1000)
输出
输出最长的子序列，如果有多个，随意输出1个。
输入示例
abcicba
abdkscab
输出示例
abca
图示

这道题涉及的知识比较多，有dp还有记录路径。

1.求相同的最长子序列的个数（LCS）

在这时我们可以直接根据递推关系去求解.
LCS(x,y) =
(1) LCS(x - 1,y - 1) + 1 如果Ax ＝ By
(2) max(LCS(x – 1, y) , LCS(x, y – 1)) 如果Ax ≠ By

代码如下：

#include<cstring>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<map>
#include<set>
#include<vector>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define maxn 0x3f3f3f3f
using namespace std;
int a,b,c,d,sum,r[1010][1010];//用二维数组r代表最优子结构
char str[1010],str1[1010];//两个一维数组分别记录AB 两个字符串
int main(){
    while(scanf("%s%s",&str,&str1)!=EOF){//注意结束方式
        a=strlen(str);
        b=strlen(str1);//a，b表示两个字符串的长度
        for(int i=0;i<a;i++){
            for(int j=0;j<b;j++){
                if(str[i]==str1[j]){
                    r[i+1][j+1]=r[i][j]+1;//当两个字符相等时
                }
                if(str[i]!=str1[j]){
                    r[i+1][j+1]=max(r[i][j+1],r[i+1][j]);//当两个字符不等时
                }
            }
        }
        printf("%d\n",r[a][b]);//输出最优子结构的的个数
        memset(r,0,sizeof(r));
        memset(str,0,sizeof(str));
        memset(str1,0,sizeof(str1));//初始化每一个数组
    }
    return 0;
}

第二种就是如题所示要求按顺序输出每一个字符

思路：我们仍然要求得最优子结构，只不过需要对最优子结构所经过的点进行标记。但是这个时候求最优子结构的过程就要分三种情况进行讨论了。因为最后我们是要记录路径，所以每一步我们都要详细给出。综合所有的情况进行dfs回溯至每一个相等的点。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<map>
#include<set>
#include<vector>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define maxn 0x3f3f3f3f
using namespace std;
int a,b,c,d,sum,r[1010][1010],q[1010][1010];//用r表示最优子结构，用q进行标记
char str[1010],str1[1010];//两个数组分别记录A,B两个字符串
void dfs(int a,int b){
    if(a==0||b==0) return;//直到遍历到起始点结束
    if(q[a][b]==1){
        dfs(a-1,b-1);
        printf("%c",str[a-1]);//输出此时字符相等的点
    }
    if(q[a][b]==2)
        dfs(a-1,b);//往上遍历
    if(q[a][b]==3)
        dfs(a,b-1);//往左遍历
}
int main(){
        memset(r,0,sizeof(r));
        memset(q,0,sizeof(q));
        memset(str,0,sizeof(str));
        memset(str1,0,sizeof(str1));
        scanf("%s%s",&str,&str1);
        a=strlen(str);
        b=strlen(str1);
        for(int i=0;i<a;i++){
            for(int j=0;j<b;j++){
                if(str[i]==str1[j]){
                    r[i+1][j+1]=r[i][j]+1;
                    q[i+1][j+1]=1;//标记此时相等的点在左上
                }
                else if(r[i][j+1]>r[i+1][j]){
                    r[i+1][j+1]=r[i][j+1];
                    q[i+1][j+1]=2;//此时相等的点在上方
                }
                else{
                    r[i+1][j+1]=r[i+1][j];
                    q[i+1][j+1]=3;//此时相等的点在左方
                }
            }
        }
        dfs(a,b);//进行遍历
        printf("\n");
        return 0;
}