51Nod 2080 最长上升子序列 动态规划

1. 题目描述

1.1. Limit

Time Limit: 1000 ms

Memory Limit: 131072 kB

1.2. Problem Description

一个数列的最长上升子列，是指其所有递增的子列中最长的一个子列

给定一个长度为 $n$ 的数列 $a_n$，求这个数列的最长上升子列的长度

例如对数列 1 7 2 8 3 4，这个数列的最长递增子数列是 1 2 3 4，长度为 4；次长的长度为 3， 包括 1 7 8、1 2 3 等。

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1.3. Input

第一行一个正整数 $n$，表示数列元素个数， $n \le 1000$

第二行 $n$ 个正整数，从左到右给出数列的每一项

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1.4. Output

一行一个正整数，表示最长上升子数列的长度

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1.5. Sample Input

8
5 1 6 8 2 4 5 10

1.6. Sample Output

5

1.7. Source

51Nod 2080 最长上升子序列

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2. 解读

通过动态规划求解最长上升子序列。

定义状态 $dp[i]$，表示以第 $i$ 个数为结尾的最长递增子序列的长度，那么：

$dp[i] = \max\{0, dp[j]\} + 1$

满足以下条件

$0 < j <i$

$A_j < A_i$

$A_j$ 和 $A_i$ 表示序列中第 $j$ 和第 $i$ 个数的数值。

最后答案为 $\max\{ dp[i] \}$

3. 代码

#include <iostream>
using namespace std;

#define MAXN 1001

int n, list[MAXN];

// 求最长上升子序列长度
int LIS()
{
    int ans = 1;
    int dp[MAXN];
    dp[1] = 1;
    // 对所有数进行循环
    for (int i = 0; i <= n; i++) {
        int max = 0;
        // 对所有小于i的数进行循环
        for (int j = 1; j < i; j++) {
            // 若找到符合条件的最大值
            if (dp[j] > max && list[j] < list[i]) {
                // 记录最大值
                max = dp[j];
            }
        }
        // 将当前遍历的数位计算在内，当前的最长上升子序列长度为max + 1
        dp[i] = max + 1;
        if (dp[i] > ans) {
            ans = dp[i];
        }
    }
    return ans;
}

int main()
{
    while (cin >> n) {
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            cin >> list[i];
        }
        cout << LIS() << endl;
    }
    return 0;
}

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Github：https://github.com/CurrenWong

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