2018百度之星程序设计大赛初赛B——1001degree

HDU-6380

题目：

度度熊最近似乎在研究图论。给定一个有 NN 个点 (vertex) 以及 MM 条边 (edge) 的无向简单图 (undirected simple graph)，此图中保证没有任何圈 (cycle) 存在。

现在你可以对此图依序进行以下的操作：

1. 移除至多 KK 条边。
2. 在保持此图是没有圈的无向简单图的条件下，自由的添加边至此图中。

请问最后此图中度数 (degree) 最大的点的度数可以多大呢？

Input

输入的第一行有一个正整数 TT，代表接下来有几笔测试资料。

对于每笔测试资料：
第一行有三个整数 NN, MM, KK。
接下来的 MM 行每行有两个整数 aa 及 bb，代表点 aa 及 bb 之间有一条边。
点的编号由 00 开始至 N−1N−1。

* 0≤K≤M≤2×1050≤K≤M≤2×105
* 1≤N≤2×1051≤N≤2×105
* 0≤a,b<N0≤a,b<N
* 给定的图保证是没有圈的简单图
* 1≤T≤231≤T≤23
* 至多 22 笔测试资料中的 N>1000N>1000

Output

对于每一笔测试资料，请依序各自在一行内输出一个整数，代表按照规定操作后可能出现的最大度数。

Sample Input

Sample Output

2
4

解题的话关键在于： 没有圈的简单图等价于由若干树组成的森林。

如果对图不熟的话也可以画一画，因为题目一直强调没有圈，从小到大选择顶点出发走一下也可以看出来。

如样例2：0和7组成一棵树，剩下的组成另一棵。

接下来进行题目的操作：删边、加边。然后找到最大度的点。

先看k = 0（没法删边），很明显，设图中最大度顶点为v，它所在的树treeV，总共有num棵树，那么只需将除treeV外的每一棵树都连一条边到顶点v，也就是treeV的根结点，此时v的度 = num - 1 + degree[v] 就是所求最大值。（degree[v]为v的度）

接下来看k>0，可以进行删边操作。既然说可以删边，那么就说明删边能够增大结点的度。

从k=0时，num - 1 + degree[v] 就是所求最大值可以看出，最大值与num有关，也就是说我们通过删边来增大树的棵树num，进而增加顶点v的度的最大值。

比方k = 1 时，任选一棵树，去掉这棵树的1条边，此时树变成两棵，删边完成了。num = num + 1 。加边的操作和k无关，把k看作0，就转化成第一种情况。

得到一般结论：

设num为初始图转化成森林时树的棵树，N为顶点数，M为边数，maxV为初始图中最大度顶点，ans为结果。

删边：num = num + k；

加边：ans = num - 1 + maxV；

随便找找规律或者简单证明下都可以得到：num = N - M；

最后，N个顶点度最大也只能是N-1。

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//  main.cpp
//  1001
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#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int MAXN = 2*100000+7;
int degree[MAXN];
int N,M,K;

int main(){
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        scanf("%d%d%d",&N,&M,&K);
        for(int i = 0;i<N+7;i++)    degree[i] = 0;
        int mm = M;
        int ans = 0;
        //int index = 0;
        int maxV = 0;
        while(mm--){
            int f,t;
            scanf("%d%d",&f,&t);
            degree[f]++;
            degree[t]++;
            maxV = max( max(degree[f],degree[t]) , maxV);
        }
        int num = N - M + K;

        ans = min( N-1 , maxV + num  - 1);
        printf("%d\n",ans);
    }
    
    return 0;
}

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