一个组合恒等式的证明

前言

昨天上组合数学，老师列出一个公式，大家都不会证明。然后一个很dark的学弟说要用二项式反演，看着就晕。后来我终于找到了简单的证明方法。

求证：

$$\frac{n \choose 1}{1} - \frac{n \choose 2}{2} + \frac{n \choose 3}{3} + ...... + (-1)^{n-1} \frac{n \choose n}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ...... + \frac{1}{n}$$

证明：

设

$$P(n): \frac{n \choose 1}{1} - \frac{n \choose 2}{2} + \frac{n \choose 3}{3} + ...... + (-1)^{n-1} \frac{n \choose n}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ...... + \frac{1}{n}$$
当 $n=1$时， $\frac{1 \choose 1}{1} = 1$， $P(1)$成立；
考虑当 $P(n)$成立时， $P(n+1)$是否成立：
左边即 $\sum_{k=1}^{n+1} (-1)^{k-1} \frac{n+1 \choose k}{k}$
我们考虑对于 $\frac{n+1 \choose k}{k}$，
有：
$$\frac{n+1 \choose k}{k} = \frac{n \choose k}{k} + \frac{n \choose k-1}{k}$$
则
$$\sum_{k=1}^{n+1} (-1)^{k-1} \frac{n+1 \choose k}{k} =\sum_{k=1}^{n+1} (-1)^{k-1} \frac{n \choose k}{k}+\sum_{k=1}^{n+1} (-1)^{k-1} \frac{n \choose k-1}{k}$$
由 $P(n)$成立，可知：
$$\sum_{k=1}^n (-1)^{k-1} \frac{n \choose k}{k}=\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i}$$
而 $\sum_{k=1}^{n+1} (-1)^{k-1} \frac{n \choose k}{k}$展开后最后一项 $(-1)^n \frac{n \choose n+1}{n+1}=0$，那么就有：
$$\sum_{k=1}^{n+1} (-1)^{k-1} \frac{n \choose k}{k}=\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{i}$$
下证 $\sum_{k=1}^{n+1} (-1)^{k-1} \frac{n \choose k-1}{k} = \frac{1}{n+1}$：
考虑对于 $\frac{n \choose k-1}{k}$，有：
$$\frac{n \choose k-1}{k}=\frac{\frac{n!}{(k-1)!(n-k+1)!}}{k}=\frac{n!}{k!(n+1-k)!}=\frac{1}{n+1} * \frac{(n+1)!}{k!(n+1-k)!}=\frac{1}{n+1} * {n+1 \choose k}$$
则
$$\sum_{k=1}^{n+1} (-1)^{k-1} \frac{n \choose k-1}{k} = \frac{1}{n+1} * \Bigg ( {n+1 \choose 1}-{n+1 \choose 2}+{n+1 \choose 3}-...+(-1)^n {n+1 \choose n+1} \Bigg )$$
当然，这里用到一个基本结论（就不作证明了）：
$${n \choose 0}+{n \choose 2}+...={n \choose 1}+{n \choose 3}+...= 2^{n-1}$$
移项得
$${n \choose 1}-{n \choose 2}+{n \choose 3}-{n \choose 4}+...={n \choose 0}=1$$
那么就证明了 $\sum_{k=1}^{n+1} (-1)^{k-1} \frac{n \choose k-1}{k} = \frac{1}{n+1}$
则
$$\sum_{k=1}^{n+1} (-1)^{k-1} \frac{n+1 \choose k}{k}= 1+ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{n+1}$$
所以， $P(n+1)$成立。
综上， $P(n)$对 $\forall n \in N$成立。
证毕。