欧拉恒等式

莱昂哈德·欧拉是18世纪最伟大的数学家之一，也是人类历史上最杰出的数学家之一。作为一个多产的数学家，欧拉贡献不可估量，他提出了许多对现代数学不可或缺的概念。
在欧拉的一生中，它出版了885份关于关于数学和其他学科的论文和书籍。即使是后来失明了，他仍然笔耕不辍。欧拉在失明之后还打趣地说:"现在我就更不会分心了。" 以勤奋著称的欧拉，用他那惊人的记忆和心算能力弥补了视力的丧失。在欧拉一生丰硕的成果中，有一个以他名字命名的公式被誉为"上帝创造的公式"，那就是欧拉恒等式。


这个公式以一种极其简单的方式将数学上不同的分支联系起来，其中涵盖了数学中最重要的几个常数，这个公式堪称是最美的数学公式。
(1)其中"e"是自然常数或者欧拉数，这是在微积分中广泛运用的自然对数的底数。这是一个无理数，也是一个超越数，它的值为2.71828……。
(2)"i"是一个复数或者是虚数单位，也是-1的平方根或者方程"x^2+1=0"的解。虚数在电子工程中极为重要，并且也在量子力学中得到应用。
(3)"π"是圆周率，这个常数不需要任何进一步的介绍，因为这是世人皆知的数学常数，在欧氏几何学和广义相对论中无处不在。
(4)自然数"1"， 任何数与之相乘都是本身。
(5)自然数"0"， 任何数与之相加都是本身。
欧拉恒等式就是结合了这五个基本常数而建立的。


由《物理世界》(Physics World)发起的一项调查表明，人们把欧拉恒等式与麦克斯韦方程组一起并称为"史上最伟大的公式"。物理大师费曼也盛赞这个公式为"数学最非凡的公式"。那么，欧拉恒等式是如何推导出来的呢?
事实上，欧拉恒等式如下欧拉公式的一种特殊情况:


只要令θ=π，就能直接得到欧拉恒等式。那么，上述的欧拉公式又是怎么来的呢?
这个公式可以通过对e^(iθ)进行泰勒展开得到:


再根据三角函数的泰勒展开:




从而可以得到欧拉公式:


当θ=π时，这个公式就能转变为我们所熟知的欧拉恒等式。

莱昂哈德·欧拉是18世纪最伟大的数学家之一，也是人类历史上最杰出的数学家之一。作为一个多产的数学家，欧拉贡献不可估量，他提出了许多对现代数学不可或缺的概念。
在欧拉的一生中，它出版了885份关于关于数学和其他学科的论文和书籍。即使是后来失明了，他仍然笔耕不辍。欧拉在失明之后还打趣地说:"现在我就更不会分心了。" 以勤奋著称的欧拉，用他那惊人的记忆和心算能力弥补了视力的丧失。在欧拉一生丰硕的成果中，有一个以他名字命名的公式被誉为"上帝创造的公式"，那就是欧拉恒等式。


这个公式以一种极其简单的方式将数学上不同的分支联系起来，其中涵盖了数学中最重要的几个常数，这个公式堪称是最美的数学公式。
(1)其中"e"是自然常数或者欧拉数，这是在微积分中广泛运用的自然对数的底数。这是一个无理数，也是一个超越数，它的值为2.71828……。
(2)"i"是一个复数或者是虚数单位，也是-1的平方根或者方程"x^2+1=0"的解。虚数在电子工程中极为重要，并且也在量子力学中得到应用。
(3)"π"是圆周率，这个常数不需要任何进一步的介绍，因为这是世人皆知的数学常数，在欧氏几何学和广义相对论中无处不在。
(4)自然数"1"， 任何数与之相乘都是本身。
(5)自然数"0"， 任何数与之相加都是本身。
欧拉恒等式就是结合了这五个基本常数而建立的。


由《物理世界》(Physics World)发起的一项调查表明，人们把欧拉恒等式与麦克斯韦方程组一起并称为"史上最伟大的公式"。物理大师费曼也盛赞这个公式为"数学最非凡的公式"。那么，欧拉恒等式是如何推导出来的呢?
事实上，欧拉恒等式如下欧拉公式的一种特殊情况:


只要令θ=π，就能直接得到欧拉恒等式。那么，上述的欧拉公式又是怎么来的呢?
这个公式可以通过对e^(iθ)进行泰勒展开得到:


再根据三角函数的泰勒展开:




从而可以得到欧拉公式:


当θ=π时，这个公式就能转变为我们所熟知的欧拉恒等式。