Algorithm之PrA：PrA之LP线性规划算法经典案例剖析
一、以例题分析步骤理解LP线性规划算法
1、分析问题
某机床厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润分别为4000 元与3000 元。生产甲机床需用 A、B机器加工，加工时间分别为每台 2 小时和 1 小时；生产乙机床需用 A、B、C三种机器加工，加工时间为每台各一小时。若每天可用于加工的机器时数分别为A 机器10 小时、B 机器8 小时和C 机器7 小时，问该厂应生产甲、乙机床各几台，才能使总利润最大？
分析：上述问题的数学模型：设该厂生产x1 台甲机床和x2 台乙机床时总利润最大，则x1、x2应满足
这里变量x1、x2称之为决策变量，（1）式被称为问题的目标函数，（2）中的几个不等式是问题的约束条件，记为s.t.(即subject to)。由于上面的目标函数及约束条件均为线性函数，故被称为线性规划问题。
经验：总之，线性规划问题是在一组线性约束条件的限制下，求一线性目标函数最大或最小的问题。在解决实际问题时，把问题归结成一个线性规划数学模型是很重要的一步，但往往也是困难的一步，模型建立得是否恰当，直接影响到求解。而选适当的决策变量，是我们建立有效模型的关键之一。
2、线性规划的 Matlab 标准形式
线性规划的目标函数可以是求最大值，也可以是求最小值，约束条件的不等号可以是小于号也可以是大于号。为了避免这种形式多样性带来的不便，Matlab 中规定线性规划的标准形式为
其中 c 和x 为n 维列向量， A 、Aeq 为适当维数的矩阵， b 、beq 为适当维数的列向量。
3 线性规划问题的解的概念
一般线性规划问题的（数学）标准型为
可行解 满足约束条件（4）的解x=(x1,x2,x3……xn)，称为线性规划问题的可行解，而使目标函数（3）达到最大值的可行解叫最优解。
可行域 所有可行解构成的集合称为问题的可行域，记为R 。
4 线性规划的图解法
图解法简单直观，有助于了解线性规划问题求解的基本原理。我们先应用图解法来求解例1。对于每一固定的值z ，使目标函数值等于z 的点构成的直线称为目标函数等位线，当z 变动时，我们得到一族平行直线。对于例1，显然等位线越趋于右上方，其上的点具有越大的目标函数值。不难看出，本例的最优解为x* = (2,6)T ，最优目标值z* = 26。
5 求解线性规划的Matlab 解法
单纯形法是求解线性规划问题的最常用、最有效的算法之一。这里我们就不介绍单纯形法，有兴趣的读者可以参看其它线性规划书籍。下面我们介绍线性规划的Matlab解法。
基本函数形式为 linprog(c,A,b)，它的返回值是向量x 的值。还有其它的一些函数调用形式（在 Matlab 指令窗运行 help linprog 可以看到所有的函数调用形式），如：
这里fval 返回目标函数的值，LB 和UB 分别是变量x 的下界和上界， x0是x 的初始值，OPTIONS 是控制参数。
二、Matlab编程实现
1、求解下列线性规划问题01
解：编写M 文件 → 将M文件存盘，并命名为example1.m → 在Matlab指令窗运行example1即可得所求结果。
c=[2;3;-5];
a=[-2,5,-1;1,3,1]; b=[-10;12];
aeq=[1,1,1];
beq=7;
x=linprog(-c,a,b,aeq,beq,zeros(3,1))
value=c'*x
2、求解线性规划问题02
解：编写Matlab程序如下：
c=[2;3;1];
a=[1,4,2;3,2,0];
b=[8;6];
[x,y]=linprog(c,-a,-b,[],[],zeros(3,1))三、将问题可以转化为线性规划的问题
很多看起来不是线性规划的问题也可以通过变换变成线性规划的问题来解决
3.1、比如将带有绝对值的复杂问题，转化为LP问题
四、建模思路全过程
1、提出问题：投资的收益和风险问题
2、符号规定和基本假设
3、模型的分析与建立
4、模型一的求解
clc,clear
a=0;
hold on
while a<0.05
c=[-0.05,-0.27,-0.19,-0.185,-0.185];
A=[zeros(4,1),diag([0.025,0.015,0.055,0.026])];
b=a*ones(4,1);
Aeq=[1,1.01,1.02,1.045,1.065];
beq=1;
LB=zeros(5,1);
[x,Q]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,LB);
Q=-Q;
plot(a,Q,'*r');
a=a+0.001;
end
xlabel('a'),ylabel('Q')5、结果分析
相关文章参考
《数学建模算法与程序大全》