巴什博奕
/**问题：
A和B一块报数，每人每次报最少1个，最多报4个，看谁先报到30。
**巴什博奕：只有一堆n个物品，两个人轮流从中取物，规定每次最少取一个，最多取m个，最后取光者为胜。
*/
/**解析：
只和先手后手有关，
比如第一次报数，A报k个数，那么B报5-k个数，
那么B报数之后问题就变为：A和B一块报数，看谁先报到25了；进而变为20,15,10,5。
当到5的时候，不管A怎么报数，最后一个数肯定是B报的，可以看出，作为后手的B在个游戏中是不会输的。
**原理：同余理论
要报n个数，每次最少报一个，最多报m个。
可以找到这么一个整数k和r，使n=k*（m+1）+r。如果r=0，那么先手必败；否则，先手必胜。
如果物品数量随机，那么先手一方胜利的概率是m/(m+1)，后手方胜利的概率是1/(m+1)
在必输局和必赢局中，赢的一方的策略是： 拿掉部分物品，使对方面临k(m+1)的局面
*/
斐波那契博弈
/**
有一堆物品，两人轮流取物品，先手最少取一个，至多无上限，但不能把物品取完，
之后每次取的物品数不能超过上一次取的物品数的二倍且至少为一件，取走最后一件物品的人获胜。
结论是：先手胜当且仅当n不是斐波那契数（n为物品总数）
*/
#include <iostream>
#include <string.h>
#include <stdio.h>
using namespace std;
const int N = 55;
int f[N];
void Init()
{
f[0] = f[1] = 1;
for(int i=2;i<N;i++)
f[i] = f[i-1] + f[i-2];
}
int main()
{
Init();
int n;
while(cin>>n){
if(n == 0) break;
bool flag = 0;
for(int i=0;i<N;i++){
if(f[i] == n){
flag = 1; break;
}
}
if(flag) puts("Second win");
else puts("First win");
}
return 0;
}尼姆博弈
/**问题：
有任意堆物品，每堆物品的个数是任意的，双方轮流从中取物品，
每一次只能从一堆物品中取部分或全部物品，最少取一件，取到最后一件物品的人获胜。
结论就是：把每堆物品数全部异或起来，如果得到的值为0，那么先手必败，否则先手必胜。
*/
/**黄金分割
两堆（ak,bk）(ak<=bk)个物品，两人轮流取，
每次从一堆中取k个或者从2堆中同时取k个，最后面对(0,0)局面的输（设ak<=bk是为了忽略顺序的影响）
*/
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
int n,ans,temp;
while(cin>>n){
temp=0;
for(int i=0;i<n;i++){
cin>>ans;
temp^=ans;
}
if(temp==0) cout<<"后手必胜"<<endl;
else cout<<"先手必胜"<<endl;
}
return 0;
}
博弈论_威佐夫博弈
/**问题：
有两堆各若干的物品，两人轮流从其中一堆取至少一件物品，至多不限，
或从两堆中同时取相同件物品，规定最后取完者胜利。
答案：
若两堆物品的初始值为（x，y），且x<y，则另z=y-x；
记w=（int）[（（sqrt（5）+1）/2）*z ]；
若w=x，则先手必败，否则先手必胜。
*/
/**理论：异或理论
m堆n个物品，两人轮流取，每次取某堆中不少于1个，最后取完者胜
所有物品数目二进制异或 为0，则先手必输
所有物品数目二进制异或不为0，则后手必输
从另一个角度思考这个问题，如果物品数量随机，那么每个数目的每一位上1或0概率相同，
如果有奇数个堆，那么1的个数为偶数或者奇数的概率相同，
如果有偶数个堆，那么1的个数为偶数的概率略大1/(m+1)，
异或结果的每一位为0或1的概率几乎差不多，而先手必输要求异或结果每一位都为0，其实输的概率很小
*/