博弈论入门讲解

博弈论，即公平组合游戏，满足下列一些特征：

• 一场游戏有两个玩家，两个玩家轮流行动，是经典的回合制游戏。
• 两个玩家的移动按照规则移动，并且两玩家之间的移动不区分身份。
• 两个玩家按照最优的决策行动，即给定一个局势，能够一开始就区分出先手必胜还是先手必败。

巴什博弈

尼姆博弈

阶梯博弈

斐波那契博弈

巴什博弈

Brave Game HDU - 1846

现在定义两个字母：$N$ 为先手必胜， $P$ 为先手必败。

在该例题中，每次可以取1~m个石子，现在先假设能够取 $m=3$ 颗石子，画出的 $N-P$ 关系图如下：

石子	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
状态	$P$	$N$	$N$	$N$	$P$	$N$	$N$	$N$	$P$	$N$	$N$

现在解释一下上图：

• 首先对于石子数为 $0$ 的时候，该状态无路可走，所以先手必败，$P$ 点。
• 对于石子数为 $1$~$3$ 的时候，因为他们都能够通往状态为 $0$ 的点，所以能够在先手取完后，让后手得到状态 $P$ ，既然对手必败了，所以对于自身无疑必胜。
  • 现对于上一点详细介绍：对于一个状态，若其通往的下一个子状态包含 $P$ 状态，则本状态必定先手必胜，即 $N$ 点。例如上面图示，当石子数为 $3$ 的时候，可以取一个通往 $2$ 号点，可以取两个通往 $1$ 号点，可以取三个通往 $0$ 号点，其中 $0$ 号点是 $P$ 状态，所以 $3$ 号点先手必胜。
• 对于石子数是 $4$ 的时候，他可以取一个通往 $3$ 号点，取两个通往 $2$ 号点，取三个通往 $1$ 号点；其中这三个子状态都是 $N$ 状态，所以 $4$ 号点先手必败，即 $P$ 点。
  • 现对于上一点详细介绍：对于一个状态，若其通往的下一个状态全部都是 $N$ 状态，即无论自己怎么决策行动，都能让对手获胜，所以该状态必定先手必败，即 $P$ 点。
• 后面 $5$~$10$ 可以根据同样的方法推得，简单明了的说，NP关系推理几乎就是图游戏：通往的下一个状态，即子结点，包含 $P$ 状态，则该状态是 $N$ 点；若子结点无 $P$ 状态，则该状态为 $N$ 点。
• NP关系推理的题目基本上都是通过找规律来解题。在本题中， 显然当 $n\%(m+1)==0$ 的时候是 $P$ 点，其余情况则是 $N$ 点。

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尼姆博弈

现通过一道例题引入 $SG$ 函数：

• 定义一个数 $x$ 的 $SG$ 值：$sg(x)=$ { $v|mex[sg(v)]$} ,其中 $v$ 是 $x$ 可以通往的下个状态点

• 假设在一局取石子游戏中，能够取 $1,2,4$ 个石子，并且假设 $0$ 号点的 $SG$ 值为0

• 画出的 $sg$ 表如下：

石子	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
$SG$ 值	0	1	2	0	1	2	0	1	2	0	1

• 对于 $4$ 号点，取一个通往 $3$ 号点：$sg(3)=0$ ;取两个通往 $2$ 号点：$sg(2)=2$ ；取四个通往 $0$ 号点：$sg(0)=0$ 。所以取 $mex[0,2]=1$, 所以$sg(4)=1$

• 其余点同理，取 $mex$ 即可。

• 由上图可知，$SG$ 函数也是有规律可寻。

• 对于能取 $1,2,4$ 个石子的 $sg$ 函数代码如下：

  const int N=1e3+10;
  int sg[N];
  bool vis[N];
  void getSG() {
  	sg[0] = 0;
  	for (int i = 1; i <= 1000; ++i) {
  		memset(vis, false, sizeof vis);
  		//记录通往下一个状态的sg值
  		if (i - 1 >= 0) vis[sg[i - 1]] = true;
  		if (i - 2 >= 0) vis[sg[i - 2]] = true;
  		if (i - 4 >= 0) vis[sg[i - 4]] = true;
  
  		//取mex
  		for (int j = 0;; ++j) {
  			if (!vis[j]) {
  				sg[i] = j;
  				break;
  			}
  		}
  	}
  }
  

Being a Good Boy in Spring Festival HDU - 1850

现假设有 $n$ 堆牌，对于一个堆 $i$ ，假设该堆的 $SG$ 值为 $sg(a_i)$ ,那么游戏的总状态 $SG$ =$sg(a_1)\oplus sg(a_2)\oplus sg(a_3)\oplus ...\oplus sg(a_n)$

定理：

• 如果 $SG\ne 0$ ，则该游戏先手必胜，为 $N$ 点。

• 反之如果 $SG=0$ ，则该游戏先手必败，为 $P$ 点。

因为本题中，对于一个堆中有 $x$ 个数，每次可以从堆中取 [$1$,$x$] 个数, 所以 $sg(x)=x$ 。

关于本题后面输出解的问题，请查看该博客

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阶梯博弈

这篇博客讲得不错：传送门

关于阶梯博弈，并没有找到基本的板子题，有个稍微类似的二维题目：Crazy Calendar LightOJ - 1393

变形题：Georgia and Bob POJ - 1704；Climbing the Hill HDU - 4315

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关于斐波那契博弈以及 $k$ 倍动态减法的详解，请查阅国家集训队论文

例题：A simple stone game HDU - 2486

参考书目

[1]罗勇军,郭卫斌.算法竞赛入门到进阶.