hdu 2167 方格取数【状压dp】（经典）

题目大意：

给出一些数字组成的n*n阶矩阵，这些数字都在[10,99]内，并且这个矩阵的 3<=n<=15,从这个矩阵中随机取出一些数字，在取完某个数字后，该数字周围8个点都不能取，问：取得数字的最大和为多少？

解题分析:

由于对每一个数，有选和不选两种可能，分别对应状态压缩中的1和0，且 n<=15,1<<15不是非常大，因此就可以非常自然的想到状态压缩。

此题要与普通的状压dp不同的是，当某一行取某种方案时，如何求出这种取数的所有取得的数之和，就是下面的bit数组，还有要注意一下输入。

#include<cstdio>                  //此题要掌握的是，当某一行取某种方案时，如何求出这种取数的所有取得的数之和，就是下面的bit数组
#include<iostream>                //还要注意如何读入的格式，挺难的
#include<cstring>
#include <algorithm>
#define N (1<<15)+10
int dp[20][N];//dp表示第i行j方案时获得的最大值 
int a[20][20], t[N], cnt, n, bit[N];//cnt存合法方案总数 
using namespace std;

void init()                //此题要掌握的技巧是，当某一行取某种方案时，如何求出这种取数的所有取得的数之和，就是下面的bit数组
{
    bit[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i++)      //存下2的1~15次方，与之后的状态比较 
        bit[i] = bit[i - 1] << 1;     //bit[2]为2的1次方，bit[3]为2的二次方
}

void solve()
{
    int i, j, k, l;
    cnt = 0;

    memset(dp, 0, sizeof(dp));
    for (i = 0; i< (1 << n) - 1; i++)           //用二进制存方案，每行最多有(1<<n)-1中方案，包括不合法方案 
    {
        if (((i << 1)&i) == 0)             //判断方案i是否相邻两格均为1
        {
            for (j = 1; j <= n; j++)
                if ((bit[j] & i))         //这个技巧一定要掌握，非常妙***
                    dp[1][i] += a[1][j];   //先处理第一行的所有方案    dp[1][i]表示第一行取第i种方案时，在第一行得到的所有数的总数
            t[++cnt] = i;                //这里的t[]数组也同时表示每一行的合法情况（只用一行中选取的数不相邻这一条件来约束时）
        }
    } //初始化dp数组，为下面的状态转移方程做好递推准备


    for (i = 2; i <= n; i++)
    {
        for (j = 1; j <= cnt; j++)
        {
            int posn = 0;
            for (k = 1; k <= n; k++)
                if (bit[k] & t[j])
                    posn += a[i][k];
            for (l = 1; l <= cnt; l++)                                                             //这里的 t[j]&t[l]就是用来判断第i行取j方案时，是否与它上一行取的数，有相邻的，如果有，则这种方案舍弃
                if ((t[j] & t[l]) == 0 && ((t[l] << 1)&t[j]) == 0 && (t[l] >> 1 & t[j]) == 0)      // t[l]<<1 & t[j] 和 t[l]>>1&t[j] 则是分别判断第i行取的数是否与它右上和左上的数相邻，如果相邻，也舍弃
                    dp[i][t[j]] = max(dp[i][t[j]], posn + dp[i - 1][t[l]]);
        }         //dp[i][t[j]]表示当第i行选第j种方案时，前i行能取的数的最大总和
    }
}


int main()//状态压缩dp，状态最多有(2<<15)-1种
{
    int i, j;
    char str[100];
    while (gets_s(str))
    {
        memset(a, 0, sizeof(a));
        n = 0;
        for (i = 0; i < strlen(str); i += 3) {
            a[1][++n] = (str[i] - '0') * 10 + (str[i + 1] - '0');
        }
        for (i = 2; i <= n; i++)
        {
            gets_s(str);
            int m = 1;
            for (j = 0; j < strlen(str); j += 3) {
                a[i][m++] = (str[j] - '0') * 10 + (str[j + 1] - '0');
            }
        }
        getchar();              
        //以上为读入矩阵,这个输入还是要注意

        init();
        solve();
        int res = 0;
        for (i = 1; i <= cnt; i++)
            if (res<dp[n][t[i]])            //dp[i][j]表示当第i行选第j种方案时，前i行能取的数的最大总和
                res = dp[n][t[i]];
        printf("%d\n", res);
    }
    return 0;
}

2018-07-26

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