方格取数（棋盘DP）

题目描述

设有N \times NN×N的方格图(N \le 9)(N≤9)，我们将其中的某些方格中填入正整数，而其他的方格中则放入数字00。如下图所示（见样例）:

A
 0  0  0  0  0  0  0  0
 0  0 13  0  0  6  0  0
 0  0  0  0  7  0  0  0
 0  0  0 14  0  0  0  0
 0 21  0  0  0  4  0  0
 0  0 15  0  0  0  0  0
 0 14  0  0  0  0  0  0
 0  0  0  0  0  0  0  0
                         B

某人从图的左上角的AA点出发，可以向下行走，也可以向右走，直到到达右下角的BB点。在走过的路上，他可以取走方格中的数（取走后的方格中将变为数字00）。
此人从AA点到BB点共走两次，试找出22条这样的路径，使得取得的数之和为最大。

输入格式

输入的第一行为一个整数NN（表示N \times NN×N的方格图），接下来的每行有三个整数，前两个表示位置，第三个数为该位置上所放的数。一行单独的00表示输入结束。

输出格式

只需输出一个整数，表示22条路径上取得的最大的和。

输入输出样例

输入 #1

8
2 3 13
2 6  6
3 5  7
4 4 14
5 2 21
5 6  4
6 3 15
7 2 14
0 0  0

输出 #1

67

思路：

附代码： 

1. 每次只能向下，或向右走，因此，走的步数  等于横坐标加纵坐标
2. 已知走的步数和横坐标大小即可确认一个点
3. 已知步数，必然有两个坐标分别两条路径的组成（两个坐标可相同） 
4. 因此可得递推式：dp[k][i][j]=max(max(dp[k-1][i][j],dp[k-1][i][j-1]),max(dp[k-1][i-1][j],dp[k-1][i-1][j-1]))+a[i][k-i]+a[j][k-j];         

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
int main() {
	int a[30][30]= {0},n,x,y,num,dp[30][30][30]= {0};
	cin>>n;
	do {
		cin>>x>>y>>num;
		a[x][y]=num;
	} while(x||y);   //输入
	for(int k=2; k<=n+n; k++) { //步数最大为n+n
		for(int i=n; i&&(k-i<=n); i--) { //k-i>n时，纵坐标会超出方格大小
			for(int j=n; j>=i&&(k-j<=n); j--) {	//j>=i ：相对右边的坐标
				dp[k][i][j]=max(max(dp[k-1][i][j],dp[k-1][i][j-1]),max(dp[k-1][i-1][j],dp[k-1][i-1][j-1]));
				dp[k][i][j]+=a[i][k-i];
				if(i!=j)dp[k][i][j]+=a[j][k-j];  //如果两条路径终点不相同
			}
		}
	}
	cout<<dp[n+n][n][n]<<endl;
	return 0;
}