Description
7 3 8 8 1 0 2 7 4 4 4 5 2 6 5
在上面的数字三角形中寻找一条从顶部到底边的路径，使得路径上所经过的数字之和最大。路径上的每一步都只能往左下或 右下走。只需要求出这个最大和即可，不必给出具体路径。 三角形的行数大于1小于等于100，数字为 0 - 99
输入格式：
5 //表示三角形的行数 接下来输入三角形
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5
要求输出最大和
（一）从下往上推，相邻的两个数中找较大的与上层相加，得出的结果相邻的两个数中再找较大的与上层相加，以此类推。
#include<string.h>
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#define N 20
int maxValue(int a, int b){
return a>b?a:b;
}
int main()
{
int n,i,j,k,sum;
int matrix[N][N];
scanf("%d",&n);
for(i=0; i<n; i++)
for(j=0; j<=i; j++)
scanf("%d", &matrix[i][j]);
for(i=n-2; i>=0; i--)//从倒数第二行开始
for(j=0; j<=i; j++)//搜集当前遍历元素下面和右下面的最大值
matrix[i][j] += maxValue(matrix[i+1][j],matrix[i+1][j+1]);
printf("%d\n",matrix[0][0]);
return 0;
}（二）记忆化搜索
也就是递归
#include<string.h>
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
#define N 20
int n;
int matrix[N][N];
int maxValue(int a, int b){
return a>b?a:b;
}
int solve(int row, int col){
if(row == n-1)
return matrix[row][col];
return matrix[row][col] + maxValue( solve(row+1,col), solve(row+1,col+1 ));
}
int main()
{
int i,j,k,sum;
scanf("%d",&n);
for(i=0; i<n; i++)
for(j=0; j<=i; j++)
scanf("%d", &matrix[i][j]);
printf("%d\n",solve(0,0));
return 0;
}
总结：
递归函数有n个参数，就定义一个n维的数组，数组的下标是递归函数参数的取值范围，数组元素的值是递归函数的返回值，这样就可以从边界值开始， 逐步填充数组，相当于计算递归函数值的逆过程。
动态规划解题的一般思路
1. 将原问题分解为子问题
把原问题分解为若干个子问题，子问题和原问题形式相同或类似，只不过规模变小了。子问题都解决，原问题即解决(数字三角形例）。
子问题的解一旦求出就会被保存，所以每个子问题只需求解一次。
2.确定状态
在用动态规划解题时，我们往往将和子问题相关的各个变量的一组取值，称之为一个“状 态”。一个“状态”对应于一个或多个子问题，所谓某个“状态”下的“值”，就是这个“状 态”所对应的子问题的解。
所有“状态”的集合，构成问题的“状态空间”。“状态空间”的大小，与用动态规划解决问题的时间复杂度直接相关。在数字三角形的例子里，一共有N×(N+1)/2个数字，所以这个问题的状态空间里一共就有N×(N+1)/2个状态。
整个问题的时间复杂度是状态数目乘以计算每个状态所需时间。在数字三角形里每个“状态”只需要经过一次，且在每个状态上作计算所花的时间都是和N无关的常数。
3.确定一些初始状态（边界状态）的值
以“数字三角形”为例，初始状态就是底边数字，值就是底边数字值。
4. 确定状态转移方程
定义出什么是“状态”，以及在该“状态”下的“值”后，就要找出不同的状态之间如何迁移――即如何从一个或多个“值”已知的 “状态”，求出另一个“状态”的“值”(递推型)。状态的迁移可以用递推公式表示，此递推公式也可被称作“状态转移方程”。
数字三角形的状态转移方程:
m[ i ][ j ] = max { m[ i -1][ j-1 ] + m[ i-1][ j ] } + a[ i ][ j ]
即：某一数字的最大路线和等于max {左上角数字最大路线和，右上角数字最大路线和} + 该数字值
能用动态规划解决的问题的特点
1) 问题具有最优子结构性质。如果问题的最优解所包含的子问题的解也是最优的，我们就称该问题具有最优子结构。
2) 无后效性。当前的若干个状态值一旦确定，则此后过程的演变就只和这若干个状态的值有关，和之前是采取哪种手段或经过哪条路径演变到当前的这若干个状态没有关系。