凸函数和上镜图

上一篇：凸函数总结

函数的图像定义为

，

它是空间的一个子集。函数的上镜图定义为

，它也是空间的一个子集。

定理 函数是凸函数当且仅当是凸集。

证明：

(必要性)显然成立，证明省略。

(充分性)假设，显然有，又由于是凸集

所以有即得

成立，由于的任意性可知是凸函数。

亚图

，

类似上述定理有函数是凹函数当且仅当其亚图是凸集。