exgcd扩展欧几里得算法

扩展欧几里得

• 裴蜀定理：对任何整数 a、b 和它们的最大公约数 d，关于未知数 x 和 y 的线性不定方程： $ax+by=c$有解（当且仅当 $c$ 是 $d$ 的倍数）
• 裴蜀定理应用：如果 $ax+by=1$有解，那么 $gcd(a,b)=1$
• 辗转相除法

• int gcd(int a,int b)
  {
  	 return b==0?a:gcd(b,a%b);
  }
  

• 如果得到 $ax≡c(mod b)$的某一特解 X，那么令 $r=b/gcd(a,b)$，可知 $x$ 在 $[0,r-1]$上有唯一解，用 $x=(X\%r+r)\%r$就可以求出最小非负整数解 $x$ 了

板子

已知 $a$ 和 $b$，求解方程 $a*x+b*y=gcd(a,b)$
注意：求出的不是最小解

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL extgcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y) //扩展欧几里得，返回最大公约数（x,y 是变量参数直接返回）
{
	LL d,t;
	if(b==0)
	{
		x=1;
		y=0;
		return a; //返回最大公约数
	}
 	d=extgcd(b,a%b,x,y);
 	t=x-a/b*y;
	x=y;
	y=t;
 	return d; //返回最大公约数
}
int main()
{
 	LL a,b,x,y,d; //d 是最大公约数
 	cin>>a>>b;
 	d=extgcd(a,b,x,y);
 	cout<<a<<"*"<<x<<"+"<<b<<"*"<<y<<"="<<d<<endl;
 	return 0;
}

青蛙的约会

式子简单变形即可
必须要判断负数！！！！！！（70 $pts$惨案TAT）

#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int x,y,m,n,L,X,Y;
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
	int d,t;
	if(b==0){
		x=1,y=0;
		return a;
	}
	d=exgcd(b,a%b,x,y);
	t=x-a/b*y;
	x=y;y=t;
	return d;
}
signed main(){
	//freopen("a.in","r",stdin);
	scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&x,&y,&m,&n,&L);
	int k=n-m,a=x-y;//简单式子变形
    if(k<0)
    {
        k=-k;
        a=-a;
    }//处理负数 
	int d=exgcd(k,L,X,Y);
	int r=L/d;
	if(a%d!=0){
		printf("Impossible");
		return 0;
	}
	else{
		printf("%lld\n",(a/d*X%r+r)%r);
		return 0;
	}
}