【NOI 2018】冒泡排序（组合计数 + 动态规划）

题目链接：【NOI 2018】冒泡排序

题目大意：给定一个排列 $p$，求字典序严格大于 $p$ 的，最长下降子序列长度不超过 $3$ 的排列个数$\mod{998244353}$ 的值。

题目等价于：能划分成两个上升子序列的序列个数。

假设在前 $i$ 个位置中，最大值是 $k$，我们发现在余下的数中，$\gt k$ 的可以随便放置，而 $\lt k$ 的数就只能从小到大依次放置，构成另一个上升子序列。

先不考虑字典序的问题。设 $f_{i,j}$ 表示放了$i$ 个数，剩下的数中有 $j$ 个大于当前最大值的方案数。如果新加进来的数小于最大值，则 $j$ 不变；如果新加进来的数大于最大值，设它是第 $k$ 个大于最大值的元素，则 $j$ 会减少 $k$。

于是：$f_{i,j}=f_{i-1,0}+\sum_{k=1}^j{f_{i-1,j-k}}=\sum_{k=0}^j{f_{i-1,j-k}}(i\gt0)$，$f_{0,0}=1$。
我们发现这个式子就是个前缀和：$g_{i,j}=g_{i-1,j}+g_{i,j-1}(i,j\gt 0)$，$g_{i,0}=1,g_{i,1}=i$。
之后不难推得：$g_{i,j}=C_{i+j-1}^{j}=C_{i+j-1}^{j-2}$。

接下来考虑字典序限制。考虑到第 $i$ 位，填入的数字是 $a_i$，后面有 $cnt$ 个数 $\gt$ 之前的最大值。$p_i$ 后面有 $b_i$ 个数比它大，$p_i$ 前面有 $c_i$ 给数比它小，这两个数组可以用树状数组方便地计算出来。

我们先计算 $a_i\gt p_i$ 的情况。首先 $cnt\leftarrow min(cnt,b_i)$，因为填完第 $i$ 位后 $cnt$ 不可能 $\gt b_i$。然后此时如果 $cnt=0$，就代表最大的数被填进去了，这意味着我们后面将只能按顺序依次填入，而这个排列的字典序是严格不大于 $p$ 的，因此就可以退出了。否则，我们就用 $g_{n-i+1,cnt-1}$ 更新答案。

接下来考虑 $a_i$ 是否可以等于 $p_i$。如果刚刚 $b_i$ 更新了 $cnt$，说明 $p_i$ 本身 $\gt$ 最大值，当然合法；如果 $c_i=p_i-1$，就说明 $p_i$ 是剩下元素中最小的，填这个数也合法；否则就是乱序填入剩下的数，不合法，直接退出。

时间复杂度 $\Theta(n\log n)$。

#include <cstdio>
#include <cstring>
const int m = 1200000;
const int maxn = 600005;
const int maxm = 1200005;
const int mod = 998244353;
int T, n, a[maxn], b[maxn], c[maxn], bit[maxn];
int fac[maxm], inv[maxm];
void add(int x) {
    for (; x <= n; x += x & -x) bit[x]++;
}
int sum(int x) {
    int y = 0;
    for (; x; x -= x & -x)  y += bit[x];
    return y;
}
int mpow(int x, int y) {
    int z = 1;
    for (; y; y >>= 1) {
        if (y & 1)  z = 1ll * z * x % mod;
        x = 1ll * x * x % mod;
    }
    return z;
}
void prework() {
    fac[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= m; i++)    fac[i] = 1ll * i * fac[i - 1] % mod;
    inv[m] = mpow(fac[m], mod - 2);
    for (int i = m - 1; ~i; i--)   inv[i] = 1ll * (i + 1) * inv[i + 1] % mod;
}
int comb(int n, int m) {
    return 1ll * fac[n] * inv[m] % mod * inv[n - m] % mod;
}
int solve(int n, int m) {
    return !m ? 1 : !(m ^ 1) ? n : (comb(n + m - 1, m) - comb(n + m - 1, m - 2) + mod) % mod;
}
int main() {
    prework();
    for (scanf("%d", &T); T--; ) {
        scanf("%d", &n);
        memset(bit, 0, sizeof(bit));
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            scanf("%d", a + i), add(a[i]);
            c[i] = sum(a[i] - 1);
            b[i] = n - a[i] - (i - 1 - c[i]);
        }
        int ans = 0, cnt = n;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            bool flag = b[i] < cnt;
            if (flag)   cnt = b[i];
            if (!cnt)   break;
            ans = (ans + solve(n - i + 1, cnt - 1)) % mod;
            if (!flag && c[i] != a[i] - 1)  break;
        }
        printf("%d\n", ans);
    }
    return 0;
}