「NOI2018」冒泡排序 (施工中)
考虑冒泡排序中一个位置上的数向左移动的步数 \(Lstep\) 为左边比它大的数的个数，向右移动的步数 \(Rstep\) 为右边比它大的数的个数，如果 \(Lstep,Rstep\) 中有一个不为 \(0\) ，那么显然不会取到下界，因为产生了浪费的步数，题面给的提示在这里非常有用，如果至少有一个为 \(0\) ，那么显然没有产生浪费操作，取到下界，所以一个合法排列的充要条件就是对于所有位置 \(Lstep\times Rstep=0\) ，即该排列的最长下降子序列长度 \(\leq 2\) 。
先不考虑字典序的限制，只考虑求出一个合法的排列，记 \(dp_{i,j}\) 为前 \(i\) 个数，后面数中有 \(j\) 个比前 \(i\) 个数的最大值要小，此时前 \(i\) 位是一个合法排列的方案数，那么考虑这一步如果选一个小于最大值的数，一定要选最小的数，否则就会出现长度 \(>2\) 的最长下降子序列，否则可以随便选，那么 \(dp_{i,j}\) 可以转移到 \(dp_{i+1,k},j-1\leq k\leq n-i-1\) 。考虑加上字典序的限制，相当于对每一次转移到的 \(k\) 做一个下界限制，稍微改一改就得到了一个 \(\mathcal O(n^2)\) 的 80分做法，这么简单的套路去年同步赛的时候居然没想到QwQ。
看了看题解发现转格路计数是可以的，推的时候一直以为有 \(n-i-1\) 这个上界不太好搞，事实上就算爆了这个上界这样的方案最终是不能走到 \((n,0)\) 的，所以问题转化为每次横坐标 \(+1\) ，纵坐标可以选择加一个 \(\geq -1\) 的数，在超过一个下轮廓之前不能低于下轮廓，那么就枚举一下是什么时候超出下轮廓的，再转括号序列应该是可以推的吧，先睡觉去了，博客留着存个档